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2023年例说圆在几何问题中的一类应用.doc

上传人:g****t 文档编号:1054411 上传时间:2023-04-17 格式:DOC 页数:4 大小:12KB
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资源描述

1、例说圆在几何问题中的一类应用例说圆在几何问题中的一类应用 金永涛 【摘要】文中通过几个典型的高中数学实例,呈现出圆在解决解析几何、立体几何问题时,不仅为解题提供了知识基础(圆的定义、圆的方程与圆的性质),也为分析、思考、探究问题提供了重要的思维方法(轨迹分析),借助几何直观和空间想象认识问题的本质,获取解题思路.【关键词】知识基础;思维基础;轨迹分析;几何直观;空间想象 在几何问题中,圆不仅是最基本的几何图形之一,也是对几何关系的形象刻画,更是解决几何问题的思路与方法.一方面,圆可以描述两点间的平面距离,即:半径关系;另一方面,圆可以描述角度的大小,当角度为直角时,对边就是圆的直径;此外,圆还

2、可以描述几何图形的对称性.圆的定义与性质在几何问题中有非常广泛的应用.文中通过几个不同的例题,分别呈现出在解决平面解析几何、立体几何问题时,圆不仅为解题提供了知识基础,也提供了分析、思考、探究问题的思维基础.一、圆在解析几何中的应用 例 1 已知点 A(-1,-1),若曲线 G 上存在两点 B,C,使得ABC 为正三角形,则称曲线 G 为 型曲线.给定下列三条曲线:y=-x+3(0 x3);y=2-x2(-2x0);y=-1 x(x0).其中,型曲线的个数是().A.0 B.1 C.2 D.3 解析 正三角形,即:顶角为 60的等腰三角形.在中如图 1 所示,AD=AE60,线段上一定存在两点

3、 B,C,使得ABC 为正三角形,该曲线为 型曲线.在中如图 2 所示,点 A 与曲线均在圆 x2+y2=2 上.从图形上观察,觉得不能存在正三角形的情况,怎么准确地说出原因呢?我们知道正三角形对三条边长与三个内角都有明确的要求,观察图形找到不满足的量与关系即可.比如,点 A 对应的最大内角DAE=45,则曲线不是 型曲线.大家还可以思考其他不满足的关系还有哪些.在中如图 3 所示,判断是否存在正三角形不容易直接识别,可以先判断能否存在等腰三角形,再进一步判断能否存在正三角形.思考:(1)怎么构造等腰三角形?(2)在熟悉的图形中,什么图形可以呈现“等腰”?(3)具体怎么操作,如何作图?(4)如

4、果等腰三角形条件满足,怎么进一步判断正三角形条件?通过问题引导,回顾相关知识与方法,确定解答思路:以点 A 为圆心作圆,使其与曲线相交得到等腰三角形DAE.当半径逐渐增大时,DAE 从 0到 90逐渐增大,则存在两点 B、C 使得BAC=60的情况.该曲线为 形曲线.二、圆在立体几何中的应用 例 2 设 l1,l2,l3 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 4,5,6 的直线.给出下列三个结论:存在 Aili(i=1,2,3),使得A1A2A3 是直角三角形;存在 Aili(i=1,2,3),使得A1A2A3 是等边三角形;三条直线上存在四点 Ai(i=1,2,3,4),使得四面体 A1

5、A2A3A4 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中,所有正确结论的序号是().解析 题目中描述的背景几何体是直三棱柱,且底面三角形的边长分别为 4、5、6.在中,实现“直角”的方式是固定直径作圆(或球).设 l1 到 l2、l3 所在平面的距离为 d,在 l2、l3 上各选一点 A2、A3 满足|A2A3|2d,以 A2A3 为直径作球,与 l1 必有一个公共点 A1,则 A2A1A3A1.在中,为了判断是否存在等边三角形,先考虑等腰三角形.以其中一条直线上的一个点为球心作球与另两条线相交,从而确保等腰三角形.为使顶角能够取到60,在距离为 6 的两条平行线的对边上选一个点作球,则

6、等腰三角形的最小腰长为 5,且此时的顶角大于 60.当球的半径不断增大,顶角不断减小至无限接近 0,所以,存在顶角等于 60的情况,而且存在两组位置可以构成正三角形.有兴趣的话,可以思考从其他直线上选定一点是否也可以构成正三角形?命题,比较容易说明不成立.当然,例题 2 的解答思路并不唯一,大家還可以借助垂直与平行关系对问题加以解决,此处不再赘述.三、“圆的思维”在几何问题中的应用 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点.定义 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.(1)若点 A(-1,3),则 d(A,O)=;

7、(2)已知点 B(1,0),点 M 是直线 kx-y+k+3=0(k0)上的动点,求 d(B,M)的最小值.解析(1)d(A,O)=4;(2)圆的定义,不仅为数学学习提供了一个重要的几何图形及性质,也为数学学习提供了一个重要思维与研究思路.类比圆的定义,在平面直角坐标系中,探究“到定点的直角距离等于定值的点的轨迹”是什么曲线,该曲线有什么规律.探究活动一:判断到点 B(1,0)的“直角距离”等于 1 的点的轨迹.曲线方程为|x-1|+|y|=1,根据对称性,判断出:曲线是以点 B 为中心,四个顶点的坐标分别为(0,0),(1,-1),(2,0),(1,1)的正方形,如图 5 所示.探究活动二:

8、判断到点 B(1,0)的“直角距离”等于 a(a0)的点的轨迹.曲线方程为|x-1|+|y|=a,根据对称性,判断出:曲线是以点 B 为中心,四个顶点的坐标分别为(1-a,0),(1,-a),(a+1,0),(1,a)的正方形,其中,四条边所在直线的斜率分别为1,且对角线长为 2a,如图 6 所示.在判断出上述曲线的轨迹及变化规律的基础上,还知道直线 kx-y+k+3=0 可以整理成 y=k(x+1)+3,即:直线经过定点 P(-1,3),如图 7 所示.随着到点 B的“直角距离”逐渐增大,正方形边长不断增大,首次与直线相交时,即为所求.由 k0,要比较直线的斜率 k 与 1 的大小关系.当 k1 时,设直线与 x 轴的交点为 C,则 C-1-3 k,0.由图可知 dmin(B,M)=d(B,C)=3 k+2;当 0k dmin(B,M)=d(B,D)=2k+3.综上,dmin(B,M)=2k+3,0k 例题 3 的思考与解析,得益于对“直角距离”对应的点的轨迹及其规律的分析与判断.“轨迹法”为几何问题的解答提供了更高层次的分析与思考,通过几何直观和空间想象,认识问题的本质,得到解决问题的正确方法,是数学抽象素养与直观想象素养的集中体现.

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