1、1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每题6分，共36分)1 设等差数列an 满足3a8=5a13且a10，Sn为其前项之和，那么Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，那么复数Z，Z，Z所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)203 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，那么称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50
2、个 (D)100个4 方程|x2n|=k (nNx)在区间(2n1，2n+1上有两个不相等的实根，那么k的取值范围是( ) (A)k0 (B)0k (C)k (D)以上都不是5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是(A) logsin1cos1 logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1(B) logcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1(C) logsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1(D) l
3、ogcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos10，Sn为其前项之和，那么Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=a，令an=aa (n1)0，an+1= aa n0 (B)0k (C)0 由图象可得，x=2n+1时，k1即k应选B 又解：y=(x2n)2与线段y=k2x(2n10且(2n1)2(4n+k2)(2n1)+4n20，(2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n20，2n12n+k22n+1 k5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logco
4、s1tan1的大小关系是(A) logsin1cos1 logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1(B) logcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1(C) logsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1(D) logcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos1 logcos1sin1解：1，故0cos1sin11tan1 logsin1tan10，logcos1tan10，logcos1sin10，设logsin1cos1=a，那么得(sin1)a
5、=cos11；logcos1sin1=b，那么(cos1)b=sin1cos1，0b1；即logcos1sin1 logsin1cos1设logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，那么得(sin1)c =(cos1)d=tan1，(指数函数图象进行比较)，cd即logsin1tan1logcos1tan1应选C6 设O是正三棱锥PABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，那么和式+ (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常数 解：O到面PAB、PBC、
6、PCA的距离相等设APB=，那么 VPQRS=d(PQPR+PRPS+PSPQ)sin(其中d为O与各侧面的距离) VPQRS=PQPRPSsinsin(其中为PS与面PQR的夹角) d(PQPR+PRPS+PSPQ)=PQPRPSsin +=为定值应选D二、填空题(每题9分，共54分)1 设，为一对共轭复数，假设|=2，且为实数，那么|= 解：设=x+yi，(x，yR)，那么|=2|y|y= 设arg=，那么可取+2=2，(因为只要求|，故不必写出所有可能的角)=，于是x=1|=22 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 解：设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面，
7、那么r2=h(2Rh) V锥=r2h=h2(2Rh)=hh(4R2h)=R3 所求比为8273 用x表示不大于实数x的最大整数， 方程lg2xlgx2=0的实根个数是 解：令lgx=t，那么得t22=t作图象，知t=1，t=2，及1t2内有一解当1t2时，t=1，t=故得：x=，x=100，x=10，即共有3个实根 4 直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是 解：如图，即OAB内部及边界上的整点由两轴及x+y=100围成区域(包括边界)内的整点数=1+2+3+101=5151个由x轴、y=x，x+y=100围成区域(不包括y=x上)内的整点数(x=1，2，3时各有1个整点，x=4，5，6时各
8、有2个整点，x=73，74，75时有25个整点，x=76，77，100时依次有25，24，1个整点共有31+32+325+25+24+1=4(1+2+25)=1300由对称性，由y轴、y=3x、x+y=100围成的区域内也有1300个整点所求区域内共有51512600=2551个整点5 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 解：顶点染色，有5种方法，底面4个顶点，用4种颜色染，A=24种方法，用3种颜色，选 1对顶点C，这一对顶点用某种颜色染C，余下2个顶点，任选2色染，A种，共有CCA=48种方法；用2种颜色染： A=12种方法；共有5(24+48+12)=420种方法6 设M=1，2，3，1995，A是M的子集且满足条件：当xA时，15xA，那么A中元素的个数最多是 解：1995=15133故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个即|A|1870又k，15k(k=9，10，11，133)中的两个元素不能同时取出，故|A|1995-133+8=1870第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sincos+3)x2(8sin+cos+1)y=0，为参数，求该曲线在直线y=2x上
