1、2022年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每题6分，共36分)1删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2022项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492设a，bR，ab0，那么直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是 3过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线，假设此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，那么线段PF的长等于(A) (B) (C) (D) 84假设x，那么y=tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是 (
2、A) (B) (C) (D) 5x，y都在区间(2，2)内，且xy=1，那么函数u=+的最小值是(A) (B) (C) (D) 6在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，那么四面体ABCD的体积等于 (A) (B) (C) (D) 二填空题(每题9分，共54分)7不等式|x|32x24|x|+30的解集是 8设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|=21，那么PF1F2的面积等于 9A=x|x24x+30，xR，B=x|21x+a0，x22(a+7)x+50，xR假设AB，那么实数a的取值范围是 10a，b，c，d均为正整数，
3、且logab=，logcd=，假设ac=9，那么bd= 11将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于 12 设Mn=(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，n1)，an=1，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，那么= 三、（此题总分值20分）13设x5，证明不等式 2+mn0=+，其中x=xx，而x表示不超过x的最大整数求这种三角形周长的最小值三、（此题50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，lq(q+1)2+1，q2，qN此图中任四
4、点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每题6分，共36分)1删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2022项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数故1至2025中共有新数列中的202545=1980项还缺20221980=23项由2025+23=
5、2048知选C2设a，bR，ab0，那么直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是 解：曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b由直线图形，可知A、C中的a0，C图的b0，b0，那么曲线为焦点在x轴上的双曲线，应选B 3过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线，假设此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，那么线段PF的长等于 (A) (B) (C) (D) 8解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=x，弦的中点在y=上，即AB中点为(，)，中垂线方程为y=(x)+，令y=0，得点P的坐标为 PF=选A4假设x，那么y=tan(x+)
6、tan(x+)+cos(x+)的最大值是 (A) (B) (C) (D) 解：令x+=u，那么x+=u+，当x，时，u，y=(cotu+tanu)+cosu=+cosu在u，时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增于是u=时，y取得最大值，应选C5x，y都在区间(2，2)内，且xy=1，那么函数u=+的最小值是(A) (B) (C) (D) 解：由x，y(2，2)，xy=1知，x(2，)(，2)，u=+=1+当x(2，)(，2)时，x2(，4)，此时，9x2+12(当且仅当x2=时等号成立)此时函数的最小值为，应选D6在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2
7、，夹角为，那么四面体ABCD的体积等于 (A) (B) (C) (D) 解：如图，把四面体补成平行六面体，那么此平行六面体的体积=1sin2=3而四面体ABCD的体积=平行六面体体积=应选B二填空题(每题9分，共54分)7不等式|x|32x24|x|+30的解集是 解：即|x|32|x|24|x|+30，(|x|3)(|x|)(|x|+)0|x|，或|x|3 解为(3，)(，3)8设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|=21，那么PF1F2的面积等于 解：F1(，0)，F2(，0)；|F1F2|=2 |PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2由
8、于42+22=(2)2故DPF1F2是直角三角形 S=49A=x|x24x+30，xR，B=x|21x+a0，x22(a+7)x+50，xR假设AB，那么实数a的取值范围是 解：A=(1，3)；又，a21x(1，)，当x(1，3)时，a 7(7，4) 4a110a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，假设ac=9，那么bd= 解：a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2y4=9(x+y2)(xy2)=9 x+y2=9，xy2=1，x=5，y2=4bd=5325=12532=9311将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻
9、的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于 解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心每个球心与其相切的球的球心距离=2EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形是把正方形ABCD绕其中心旋转45而得设E的射影为N，那么MN=1EM=，故EN2=3(1)2=2 EN=所求圆柱的高=2+12 设Mn=(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，n1)，an=1，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，那么= 解：由于a1，a2，an1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n1在每一位(从第一位到第n1位)小数上，数字0与1各出现2
10、n2次第n位那么1出现2n1次 Sn=2n21+2n210n =三、（此题总分值20分）13设x5，证明不等式 2+2 解：x+10，2x30，153x0x5由平均不等式 2+=+2 但2在x5时单调增即22=2 故证四、(此题总分值20分)14设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (tR)与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点解：曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2ts
11、in2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t) x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t(0x1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1x)2+2b(1x)x+cx2 即 y=(a2b+c)x2+2(ba)x+a (0x1) 假设a2b+c=0，那么Z0、Z1、Z2三点共线，与矛盾，故a2b+c0于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i与AC平行的中位线经过M(，(a+b)及N(，(b+c)两点，其方程为4(ac)x+4y3a2b+c=0(x)
