1、数学解题中转化思维的十种策略江苏洪泽县中学 胡国生数学活动的实质就是思维的转化过程,在解题中,要不断改变解题方向,从不同角度,不同的侧面去探讨问题的解法,寻求最正确方法,在转化过程中,应遵循三个原那么:1、熟悉化原那么,即将陌生的问题转化为熟悉的问题;2、简单化原那么,即将复杂问题转化为简单问题;3、直观化原那么,即将抽象总是具体化。策略一:正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一,解题时,如果从下面入手思维受阻,不妨从它的正面出发,逆向思维,往往会另有捷径。例1 :四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不共面的取法共有_种。A、150 B、147 C、144
2、 D、141分析:此题正面入手,情况复杂,假设从反面去考虑,先求四点共面的取法总数再用补集思想,就简单多了。解:10个点中任取4个点取法有种,其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种,同理其余3个面内也有种,又,每条棱与相对棱中点共面也有6种,各棱中点4点共面的有3种,不共面取法有种,应选D。策略二:局部向整体的转化从局部入手,按部就班地分析问题,是常用思维方法,但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物,不纠缠细节,从系统中去分析问题,不单打独斗。例2:一个四面体所有棱长都是,四个顶点在同一球面上,那么此球外表积为 A、 B、 C、 D、分析:假设利用正四面体外接球的性质,构造直角三角形
3、去求解,过程冗长,容易出错,但把正四面体补形成正方体,那么正四面体,正方体的中心与其外接球的球心共一点,因为正四面体棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径为,应选A。策略三:未知向转化又称类比转化,它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法,解题中,假设能抓住题目中关键信息,锁定相似性,巧妙进行类比转换,答案就会应运而生。例3:在等差数列中,假设,那么有等式成立,类比上述性质,在等比数列中,那么有等式_成立。分析:等差数列中,必有,故有类比等比数列,因为,故成立。策略四:固定向重组的转化挖掘题目隐含关系,将条件或结论巧妙而又合理地改造,重新组合,让零散的信息聚整,模糊的信息显现。例4:外两条直
4、线,给出四个论断:以其中三个论断为条件,余下论断为结论,写出所有正确的命题。分析:此题要求学生对线线关系,面面关系,以及线面关系的判定及其性质理解透彻,重点考查学生对信息分析、重组判断能力,正确命题有,策略五:抽象向具体转化有些题目看起来较为抽象,貌似不易解决,但结合具体数学情境,联系相知,建立模型,以启迪解题思路,寻找解决问题的突破口。例5:为常数,且,问是不是周期函数,假设是,求出周期,假设不是说明理由。分析:由联想到,找到一个具体函数,=,而函数猜测是一个周期为的函数。这样方向明,思路清。证明:,策略六:个别向一般的转化华罗庚说过:“善于退,足够地退,退到起始,而不失去重要地步,是学好数
5、学的决窍。对于外表上难于解决的问题,需要我们退步考虑,研究特殊现象,再运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律,使问题获解。例6:数列()是首项为,公比为的等比数列。1 求和:;2 由1的结果归纳出关于正整数的一个结论,并加以证明。分析:1 同理可得:= 猜测:证明:= =策略七:数向形的转化数缺形时少直观,形缺数时难入微,形数结合是数学的重要表现形式,通过对不等式函数等变形,代换处理后,赋于其几何意义,以形定数,可以避繁就简。例7:设,求证:分析:不等式右端为,可看为单位正方形的两条对角线之和,从题目的整体结构容易联想到勾股定理。证明:作边长为1的正方形ABCD,作两组平行线把正方形分成
6、四个矩形,那么不等式左端=PA+PC+PB+PDAC+BD=,当且仅当P在正方形中心处,即时,“等号成立。策略八:暄量向定性的转化当定量求解某些问题困难时,可以考虑将定量问题转化为定性问题,通过定性判断来解决。例8:函数图象如以下列图那么函数图象可能是 分析:要根据的函数图象准确地画出的图象是困难的,但我们注意到一奇一偶,所以是奇函数排除B,但在无意义,又排除C、D,应选A。策略九:主元向辅元的转化主元与辅元是人为的相对的,可以相互切换,当确定了某一元素为主元时,那么其他元素是辅元。例9:关于的方程:有且仅有一个实根,求实数的取值范围。分析:显然,题目中的是主元,为辅元,但方程中的最高次数为3
7、,求根比拟困难,注意到的最高次数为2,故可视为主元,原方程转化为关于的二次方程。解:原方程可代为即,原方程有唯一实根,无实根,策略十:模式向创造的转化数学题目千变万化,虽然不存在固有的解题模式和千篇一律的解题方法,但只要我们破除思维定势,树立创新意识,进行发散思维,左挂右联,巧思妙想,分析题目结构特征,还是可以找到令人耳目一新的解法例10: 求证:证明:构造对偶式:令 那么 =又 参考文献:1、李绍亮选择题结构、设计与解法,中学数学参考1994年第7期。2、黄孝长重视转化思想渗透,着意思维品质的培养,中学数学2023年第6期。3、罗增儒解题杂谈,中学数学教学参考2023年第7期。4、刘康宁求最值的方法与技巧种种,中学数学教学参考1994年第12期。