1、第三章第七节正弦定理和余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.(2023广东高考)ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.假设ac,且A75,那么b ()A2 B42 C42 D.解析:如下列图在ABC中,由正弦定理得=4,b=2.答案:A2在锐角ABC中,BC1,B2A,那么的值等于_,AC的取值范围为_解析:由正弦定理得.即.2.ABC是锐角三角形,0A,02A,03A,解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(,)答案:2(,)3(2023全国卷)在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC,求b.解:由余弦定理得a2c2b
2、22bccosA.又a2c22b,b0,所以b2ccosA2.又sinAcosC3cosAsinC,sinAcosCcosAsinC4cosAsinC,sin(AC)4cosAsinC,sinB4sinCcosA.由正弦定理得sinBsinC,故b4ccosA.由、解得b4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2023天津模拟)在ABC中,cos2,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),那么ABC的形状为 ()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析:cos2,cosB,a2c2b22a2,即a2b2c2,ABC为直角三角形答案:B5在ABC中,2sinAc
3、osBsinC,那么ABC一定是 ()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解析:法一:因为在ABC中,ABC,即C(AB),所以sinCsin(AB)由2sinAcosBsinC,得2sinAcosBsinAcosBcosAsinB,即sinAcosBcosAsinB0,即sin(AB)0.又因为AB,所以AB0,即AB.所以ABC是等腰三角形法二:利用正弦定理和余弦定理2sinAcosBsinC可化为2ac,即a2c2b2c2,即a2b20,即a2b2,故ab.所以ABC是等腰三角形答案:B题组三三角形面积公式的应用6.在ABC中,AB,AC1,B,那么ABC的面积等于 (
4、)A. B. C.或 D.或解析:由正弦定理知,sinC,C或,A或,S或.答案:D7在ABC中,面积Sa2(bc)2,那么cosA ()A. B. C. D.解析:Sa2(bc)2a2b2c22bc2bc2bccosAbcsinA,sinA4(1cosA),16(1cosA)2cos2A1,cosA.答案:B8(2023浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,3.(1)求ABC的面积;(2)假设c1,求a的值解:(1)因为cos,所以cosA2cos21,sinA.又由3,得bccosA3,所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知,bc5,又
5、c1,所以b5,由余弦定理,得a2b2c22bccosA20,所以a2.题组四正、余弦定理的综合应用9.假设ABC的周长等于20,面积是10,A60,那么BC边的长是 ()A5 B6 C7 D8解析:依题意及面积公式SbcsinA,得10bcsin60,得bc40.又周长为20,故abc20,bc20a,由余弦定理得:a2b2c22bccosAb2c22bccos60b2c2bc(bc)23bc,故a2(20a)2120,解得a7.答案:C10(文)在三角形ABC中,B60,最大边与最小边的比为,那么三角形的最大角为 ()A60 B75 C90 D115解析:不妨设a为最大边由题意,即,(3)
6、sinA(3)cosA,tanA2,A75.答案:B(理)锐角ABC中,假设A2B,那么的取值范围是 ()A(1,2) B(1,) C(,2) D(,)解析:ABC为锐角三角形,且A2B,B,sinAsin2B2sinBcosB,2cosB(,)答案:D11a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m(,1),n(cosA,sinA),假设mn,且acosBbcosAcsinC,那么角B_.解析:mn,cosAsinA0,tanA,A.acosBbcosAcsinC,sinAcosBsinBcosAsinCsinC,sin(AB)sin2C,sinCsin2C,sinC0,sinC1.
7、C,B.答案:12(文)(2023长郡模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C且(1)判断ABC的性状;(2)假设|2,求的取值范围解:(1)由及正弦定理得sinBsin2C,B2C,且B2C,假设B2C,C,B,BC(舍);B2C,那么AC,ABC为等腰三角形(2)|2,a2c22accosB4,cosB(ac),而cosBcos2C,C,cosB1,1a2,又accosB2a2,(,1)(理)(2023广州模拟)在ABC中,A,B,C分别是三边a,b,c的对角设m(cos,sin),n(cos,sin),m,n的夹角为.(1)求C的大小;(2)c,三角形的面积S,求ab的值解:(1)mncos2sin2cosC,又mn|m|n|cos,故cosC,0C,C.(2)SabsinCabsinab,又S,故ab,ab6.c2a2b22abcosC,c,a2b22ab(ab)23ab.(ab)23ab18,ab.