1、第三章第七节正弦定理和余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.(2023广东高考)ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.假设ac，且A75，那么b ()A2 B42 C42 D.解析：如下列图在ABC中，由正弦定理得=4，b=2.答案：A2在锐角ABC中，BC1，B2A，那么的值等于_，AC的取值范围为_解析：由正弦定理得.即.2.ABC是锐角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(，)答案：2(，)3(2023全国卷)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2c2b
2、22bccosA.又a2c22b，b0，所以b2ccosA2.又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin(AC)4cosAsinC，sinB4sinCcosA.由正弦定理得sinBsinC，故b4ccosA.由、解得b4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2023天津模拟)在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，那么ABC的形状为 ()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：cos2，cosB，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B5在ABC中，2sinAc
3、osBsinC，那么ABC一定是 ()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解析：法一：因为在ABC中，ABC，即C(AB)，所以sinCsin(AB)由2sinAcosBsinC，得2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，即sin(AB)0.又因为AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosBsinC可化为2ac，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形答案：B题组三三角形面积公式的应用6.在ABC中，AB，AC1，B，那么ABC的面积等于 (
4、)A. B. C.或 D.或解析：由正弦定理知，sinC，C或，A或，S或.答案：D7在ABC中，面积Sa2(bc)2，那么cosA ()A. B. C. D.解析：Sa2(bc)2a2b2c22bc2bc2bccosAbcsinA，sinA4(1cosA),16(1cosA)2cos2A1，cosA.答案：B8(2023浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)假设c1，求a的值解：(1)因为cos，所以cosA2cos21，sinA.又由3，得bccosA3，所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知，bc5，又
5、c1，所以b5，由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以a2.题组四正、余弦定理的综合应用9.假设ABC的周长等于20，面积是10，A60，那么BC边的长是 ()A5 B6 C7 D8解析：依题意及面积公式SbcsinA，得10bcsin60，得bc40.又周长为20，故abc20，bc20a，由余弦定理得：a2b2c22bccosAb2c22bccos60b2c2bc(bc)23bc，故a2(20a)2120，解得a7.答案：C10(文)在三角形ABC中，B60，最大边与最小边的比为，那么三角形的最大角为 ()A60 B75 C90 D115解析：不妨设a为最大边由题意，即，(3)
6、sinA(3)cosA，tanA2，A75.答案：B(理)锐角ABC中，假设A2B，那么的取值范围是 ()A(1,2) B(1，) C(，2) D(，)解析：ABC为锐角三角形，且A2B，B，sinAsin2B2sinBcosB，2cosB(，)答案：D11a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)，假设mn，且acosBbcosAcsinC，那么角B_.解析：mn，cosAsinA0，tanA，A.acosBbcosAcsinC，sinAcosBsinBcosAsinCsinC，sin(AB)sin2C，sinCsin2C，sinC0，sinC1.
7、C，B.答案：12(文)(2023长郡模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C且(1)判断ABC的性状；(2)假设|2，求的取值范围解：(1)由及正弦定理得sinBsin2C，B2C，且B2C，假设B2C，C，B，BC(舍)；B2C，那么AC，ABC为等腰三角形(2)|2，a2c22accosB4，cosB(ac)，而cosBcos2C，C，cosB1，1a2，又accosB2a2，(，1)(理)(2023广州模拟)在ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角设m(cos，sin)，n(cos，sin)，m，n的夹角为.(1)求C的大小；(2)c，三角形的面积S，求ab的值解：(1)mncos2sin2cosC，又mn|m|n|cos，故cosC，0C，C.(2)SabsinCabsinab，又S，故ab，ab6.c2a2b22abcosC，c，a2b22ab(ab)23ab.(ab)23ab18，ab.