1、11.3导数概念与运算一、明确复习目标1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记根本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么;5.了解复合函数的求导法那么.会求某些简单函数的导数.二建构知识网络1导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果x0时，y与x的比也叫函数的平均变化率有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在x0处的导数，记作；2导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点x0，y0处的切
2、线的斜率，即斜率为f(x0).过点P的切线方程为：y- y0= f(x0) (x- x0).3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x0)，从而构成了一个新的函数f(x0), 称这个函数f(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.4可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导 函数y=f(x)在点x0处连续. 5.依定义求导数的方法：1求函数的改变量2求平均变化率3取极限，得导数 6几种常见函数的导数：(C为常数)；()；。7导数的四那么
3、运算法那么：； ； 8复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，那么复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或=f(u) (x).9.求导数的方法:(1)求导公式; (2)导数的四那么运算法那么;(3)复合函数的求导公式; (4)导数定义.三、双基题目练练手1.在曲线y=x2+1的图象上取一点1,2及邻近一点1+x,2+y,那么为 A.x+2 B.x2 C.x+2 D.2+x2.设fx=ax3+3x2+2,假设f1=4,那么a的值等于 A.B. C. D.3(2023湖南)设f0(x) sinx，f1(x)f0(x
4、)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，那么f2023(x) Asinx BsinxCcosxDcosx 4.(2023湖南)设函数, 集合, 假设, 那么实数的取值范围是 ( ) A B C D 5. (2023全国)设函数 假设是奇函数，那么_6设函数假设该函数在实数集R上可导，那么该函数的最小值是_7.(2023北京)过原点作曲线的切线，那么切点的坐标为 ，切线的斜率为 .8对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，那么数列的前n项和的公式是 简答:14.CDCC； 5. ；6. 答案: . 依题意作图易得函数的最小值是f()7. 1，e e； 8. 2n+
5、1-2.四、经典例题做一做【例1】求以下函数的导数：1y= 2y=lnx;y=; 解: 1y=2y=x=1=y=提炼方法：题1是导数的四那么运算法那么；題23是复合函数的求导方法.都是导数问题的根底.【例2】1求曲线在点1，1处的切线方程；2运动曲线方程为，求t=3时的速度分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数解：1，即曲线在点1，1处的切线斜率k=0因此曲线在1，1处的切线方程为y=12 解题点评:切线是导数的“几何形象,是函数单调性的“几何解释,要熟练掌握求切线方程的方法.【例3】
6、假设fx在R上可导，1求fx在x=a处的导数与fx在x=a处的导数的关系；2证明：假设fx为偶函数，那么fx为奇函数.分析:1需求fx在x=a处的导数与fx在x=a处的导数；2求fx，然后判断其奇偶性.1解:设fx=gx,那么ga= =fafx在x=a处的导数与fx在x=a处的导数互为相反数.2证明:fx= =fxfx为奇函数.解题点注:用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致.【例4】2023浙江函数x3+x2，数列 xn xn 0的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y在处的切线与经过0，0和xn，fxn两点的直线平行如图。求证：当n时： I；II证明：I曲线在处的切
7、线斜率过和两点的直线斜率是.II函数当时单调递增，而，即因此又令那么 因此 故考查知识：函数的导数、数列、不等式等根底知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。五提炼总结以为师1 了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；2 会用定义式求导数；3 了解导数的几何意义；会求切线方程；4 掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；5 掌握导数的四那么运算法那么及复合函数的求导法那么。同步练习 11.3导数概念与运算 【选择题】1.设函数fx在x=x0处可导,那么 A与x0,h都有关 B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关 D与x0、h均无关2.函数fx在x=1处的导数为3,那么fx的解
8、析式可能为 Afx=x12+3x1 Bfx=2x1Cfx=2x12 Dfx=x13(2023湖北)在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 A3B2C1D04.(2023安徽)假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为 A B C D【填空题】5. 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 _6过点0，4与曲线yx3x2相切的直线方程是 7. 设fx在x=1处连续，且f1=0,=2,那么f1=_8.曲线y=2x2与y=x32在交点处的切线夹角是_以弧度数作答简答.提示：14.BADA；5. 1，2，4秒末； 6y4x4；7.f1=0, =2,
9、f1= = =28.由消y得：x2x2+4x+8=0,x=2y=2x2=x,y|x=2=2又y=2=x2,当x=2时,y=3两曲线在交点处的切线斜率分别为2、3,|=1 夹角为【解答题】9以下函数的导数 fx=excosx+sinx分析：利用导数的四那么运算求导数法一： 法二： =+ f/(x)=excosx+sinx+exsinx+cosx=2exsinx,10 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程解：切线与直线平行， 斜率为4又切线在点的斜率为 或切点为1，-8或-1，-12切线方程为或即或11(2023福建) 函数的图象过点P0，2，且在点M1，f1处的切线方程为求函数y=
10、f(x)的解析式；求函数y=f(x)的单调区间解：由f(x)的图象经过P0，2，知d=2，所以由在M(-1,f(-1)处的切线方程是，知故所求的解析式是 解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数考查知识：函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力12. 证明：过抛物线y=axx1xx2a0，x1x2上两点Ax1，0、Bx2，0的切线，与x轴所成的锐角相等.解：y=2axax1+x2，y|=ax1x2，即kA=ax1x2，y|=ax2x1，即kB=ax2x1.设两条切线与x轴所成的锐角为、，那么tan=|kA|=|ax1x2|，tan=|kB|=|ax2x1|，故tan=tan.又、是锐角，那么=.
