1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并
2、交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则中元素的个数为( )A3B2C1D02在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成角为.正确命题的个数是（ ）A0B1C2D33设集合（为实数集），则（ ）ABCD4已知，则，的大小关系为（ ）ABCD5已知向量，当时，（ ）ABCD6已知集合，则=( )ABCD7等比数列的各项均为正数，且，则( )A12B10C8D8函数的定义域为，集合，则（ ）ABCD9如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角
3、形，则该几何体外接球的体积是（ ）ABCD10已知非零向量满足，且与的夹角为，则（ ）A6BCD311已知水平放置的ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，AO，那么原ABC的面积是()AB2CD12已知集合，定义集合，则等于（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_14已知，且，则_15在中，已知，则A的值是_.16若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文
4、字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.18（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有
5、通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参
6、加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.19（12分）数列满足，其前n项和为，数列的前n项积为.（1）求和数列的通项公式；（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.20（12分）设函数，.（1）求函数的极值；（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.21（12分）已知函数，.函数的导函数在上存在零点.求实数的取值范围；若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.22（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.2
7、023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【题目详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一的解.故.故选：C.【答案点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.2、C【答案解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【题目详解】设正方体边长为，建立空
8、间直角坐标系如下图所示，.，所以，故正确.，不存在实数使，故不成立，故错误.，故平面不成立，故错误.，设和成角为，则，由于，所以，故正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【答案点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.3、A【答案解析】根据集合交集与补集运算,即可求得.【题目详解】集合,所以所以故选:A【答案点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.4、D【答案解析】构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.【题目详解】依题意，得，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.【答案点睛】
9、本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.5、A【答案解析】根据向量的坐标运算，求出，即可求解.【题目详解】，.故选:A.【答案点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.6、C【答案解析】计算，再计算交集得到答案.【题目详解】，故.故选：.【答案点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.7、B【答案解析】由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论【题目详解】数列是等比数列，故选：B.【答案点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键8、A【答案解
10、析】根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.【题目详解】解：由函数得，解得，即；又，解得，即，则.故选：A.【答案点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.9、C【答案解析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.【题目详解】如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.故选：C【答案点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.10、D【答案解析
11、】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可【题目详解】解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，且与的夹角为，说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则故选：【答案点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题11、A【答案解析】先根据已知求出原ABC的高为AO，再求原ABC的面积.【题目详解】由题图可知原ABC的高为AO，SABCBCOA2，故答案为A【答案点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12、C【答案解析】根据定义，求出，即可求出结论.
12、【题目详解】因为集合，所以，则，所以.故选:C.【答案点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【答案解析】设直线AB的方程为ykx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【题目详解】设直线AB的方程为ykx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx0，所以x0或xA的坐标（0，1），B的坐标为（，k1），即B（，），因此AB，同理可得：AC.RtABC的面积为SABAC令t，得S.t2，SAB
13、C.当且仅当，即t时，ABC的面积S有最大值为.解之得a3或a.a时，t2不符合题意，a3.故答案为：3.【答案点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14、【答案解析】试题分析：因,故,所以，,应填.考点：三角变换及运用15、【答案解析】根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.【题目详解】，即，则，则.故答案为：【答案点睛】本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.16、【答案解析】先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结
14、果.【题目详解】因为，所以，又函数在和两处取得极值，所以是方程的两不等实根，且，即有两不等实根，且，令，则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足，又，由得，所以，当时，即函数在上单调递增；当，时，即函数在和上单调递减；当时，由得，此时，因此，由得.故答案为【答案点睛】本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，当时，以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.【答案解析】（1）设椭圆的焦半距为，利用离心率为，椭圆的长轴长为1列出方程组求解，推出，即可得
