1、专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一解答题（共50小题）1（2023学年北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共点个数【答案】（1）证明：到点O的距离等于a的所有点组成图形G，图形G为ABC的外接圆O，AD平分ABC，ABDCBD，ADCD；（2）如图，ADCM，ADCD，CDCM，DMBC
2、，BC垂直平分DM，BC为直径，BAC90，ODAC，ODAB，DEAB，ODDE，DE为O的切线，直线DE与图形G的公共点个数为1【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定2（2023学年北京）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的
3、点M总有ONQP，并证明【答案】解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中 PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQMHx+1D
4、QDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中 OCNQDP（SAS）ONQP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP3（2023学年北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长
5、；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A90，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC42，弧2；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F
6、（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G，FGEF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBCADEAOB90AE，PDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知，PDPMAE，AE3，即3，解得：t，t00t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计
7、算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题4（2023学年北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD4，tanG，求AO的长【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD，OBOD，BEDF，AB：BEAD：DF，EFBD，ACEF；（2）解：如图2所示：由（1）得：EFBD，GADO，tanGtanADO，OAOD，BD4，OD2，OA1【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线
8、的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键5（2023学年怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形，如果在图形上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP2BQ，那么称点A与点B是图形的一对“倍点”已知O的半径为1，点B（0，3）（1）点B到O的最大值，最小值；在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是O的一对“倍点”的是A1；（2）在直线yx+b上存在点A与点B是O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围【答案】解
9、：（1）点B到O的最大值是BO+r3+14；点B到O的最小值是BOr312；A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP2BQ，则A1与B是O的一对“倍点”，故答案为A1；（2）点B到O的最大值是4，最小值是242BQ8，O到直线的最大距离是9，即OD9，DCO60，CO6；（3）当m0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+14，m3，S（m+1，2），T（m，2），则OS9，9，m1；3m1；当m0时，S（m+1，0），T（m，0），则m4，S（m+1，2），T（m，2）
10、，则OT9，9，m，m4；综上所述：3m1或m4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键6（2023学年东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）已知A（2，0），B（0，2）（1）求d（点O，直线AB）；（2）T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（T，直线AB）1，直接写出t的取值范围；（3）记函数ykx，（1x1，k0）的图象为图形Q若d（Q，直线
11、AB）1，直接写出k的值【答案】解：（1）如图1中，作OHAB于HA（2，0），B（0，2），OAOB2，AB2，OAOBABOH，OH，d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作THAB于H，交T于D当d（T，直线AB）1时，DH1，TH2，AT2，OT22，T（22，0），根据对称性可知，当T在直线AB的右边，满足d（T，直线AB）1时，T（2+2，0），满足条件的t的值为22t（3）如图3中，当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为yx+2，当直线ykx经过E（1，1）时，k1，当直线ykx经过F（1，3），k3，综上所述，满足条件的k的值为3或
12、1【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2023学年朝阳区二模）MON45，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）（1）如图，若OA1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆若OA1，当点P在射
13、线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度【答案】解：（1）OA1，OP，MON45，PAOA，PA1OCOA，PC1由旋转性质可知：PCCD，CDAB1，D正好落在OM上补全图形，如图1所示（2）如图2，作PEOM交ON于点E，作EFON交OM于点FOP，MON45，OE2由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OAEC如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2综上所述，OA的取值范围是1OA2（3）如图4作PEOM交ON于点E，作EFON交OM于点Q当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD1，Q在CD的中点，QC由（2）可知CEOA1，QE，MON45，OP，OQ【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
