1、2.9 指数 指数函数 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一一、明确复习目标1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算；2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。二建构知识网络1.幂的有关概念(1)正整数指数幂零指数幂；负整数指数幂(2)正分数指数幂；(3)负分数指数幂(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的性质： 3.根式1根式的定义:如果，那么叫做的次方根，用 表示, 叫做根式，叫根指数，叫被开方数。 (2)根式的性质: 当是奇数，；当是偶数，负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零4.指数
2、函数：1定义：y=ax (a0且a1)，叫指数函数，x是自变量，y 是x的函数。2图象：3性质： 定义域(-,+ )；值域 (0,+ )；过定点，1； 单调性 a 1时为增函数a1,0y1和0a0且a1),在区间0,+)上是增函数,那么实数a 的取值范围是 ( )A. B. C. D.5.计算：_6.假设,那么a、b、c的大小顺序是 简答.精讲: 1-4. ABBB; 1. =aa=a=a; 3. 令x=1，由图知c1d1a1b1; 4.记u=ax,那么 f(x)=uu-(3a2+1)=g(u)对称轴为u=(3a2+1)/2,要使f(x)在x0,+)时递增,当0a1时无解.应选B; 5.12;
3、6.只须看的大小,把6次乘方, 把10次乘方可知cab四、经典例题做一做【例1】9x103x+90，求函数y=x14x+2的最大值和最小值.解：由9x103x+90得3x13x90，解得13x9.0x2.令x=t，那么t1，y=4t24t+2=4t2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.方法提炼 1.由不等式求x的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题.【例2】的值. 解：，而，方法归纳 1.用好的关系.2.根式化分数指数幂再计算.【例3】2023全国解方程4x+|12x|=11.解：当x0时，12x0.原方程4x2x10=02x=2x=0无解或2
4、x=+1知x0无解.当x0时，12x0.原方程4x+2x12=02x=2x=4无解或2x=3x=log23为原方程的解.思想方法 1.分类讨论分段去绝对值；2。换元法。【例4】设函数(a为实数)假设a0，用函数单调性定义证明：在上是增函数;假设a0，的图象与的图象关于直线yx对称，求函数的解析式解： (1)设任意实数x1x2，那么f(x1) f(x2) 又，f(x1) f(x2)0，所以f(x)是增函数 (2)当a0时，yf(x)2x1，2xy1， xlog2(y1)， yg(x) log2(x1) 【研究.欣赏】2023上海函数1证明f(x)在-1，+上为增函数；2用反证法证明方程f(x)=
5、0没有负数根。证明1设1x10,又a1, ,而1x10, x2+10, f(x2)f(x1)0,f(x)在(1,+)上为增函数。2设x0为方程f(x)=0的负根，那么有即显然，假设与矛盾；假设x0-1那么，x0+10,而矛盾，即不存在x01的解，综上知，不存在负根。提炼方法： 1.方法：单调性定义，反证法，分类讨论；2.反证法推矛盾时,表达了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.五提炼总结以为师1.根式的运算根据分数指数幂的意义，转化为分数指数幂的运算；2.指数函数的定义重在“形式，像y=23x，y=3x+1等都不是指数函数，是复合函数.3.指数函数y=axa0，a1的图象和性质，要分a1与0a
6、1来研究. 4.对于含有字母参数的指数式，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论，用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。同步练习 2.9 指数 指数函数【选择题】1.假设Nx，那么( A2 B C D2. ( 2023全国卷III)设，那么 ( )A-2x-1 B-3x-2 C-1x0 D0x0,a1)在区间-1,1上的最大值为14，求a的值。解:设t=ax,那么y=t2+2t-1,在t-1时递增.而x-1,1.假设a1,那么a-1ta,ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3, (-5舍)假设0a1,那么 ata-1, ymin=a-2+2a-1-1=14, 解得9.设fx=2
7、x+1，fm=，求fm.解：设g(x)= 2x, 那么gx=+2x=+2x=+2x=+2x=+ 2x=g(x)g(x)是奇函数,g(m)= -1, fm=g(-m)+1=g(m)+1=2.10.设，是上的偶函数1求的值；2证明在上为增函数解：1依题意，对一切，有，即对一切成立，那么，2(定义法)设，那么，由，得，即，在上为增函数导数法，在上为增函数【探索题】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),当x(0,1时,;(1)求证:f(x)是以4为周期的周期函数;(2)求f(x)在-1,0上的解析式;(3)假设xa,a+4,(aR),求使关于x的方程f(x)=有解的的取值范围.解(1)f(x+4)=f(x+2)+2=f(-x-2)=f(x+2)=f(x)f(x)的周期为4.(2)显然f(0)=0,当x-1,0)时x(0,1.(3)在(1,2上是减函数,由是奇函数, 又f(x+2)=f(-x),x=1是f(x)的对称轴. , 当时,的周期为4,时,在a,a+4上可使方程有解.
