1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,其中,其图象关于直线对称,对满足的,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()ABCD2已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为
2、( )ABCD3如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为( )ABCD4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地,请问第二天比第四天多走了( )A96里B72里C48里D24里5设分别为的三边的中点,则( )ABCD6已知集合,集合,则等于( )ABCD7已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数( )ABC
3、D8已知直线过圆的圆心,则的最小值为( )A1B2C3D49已知集合,则ABCD10已知函数满足当时,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是( )ABCD11 “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中“阶幻方”是由前个正整数组成的个阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)则“5阶幻方”的幻和为( )A75B65C55D4512的展开式中的系数是-10,则实数( )A2B1C-1D-2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13的展开式中的常数项为_14已知实数满足则的最大
4、值为_.15设,分别是椭圆C:()的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于E点,若满足,且,则椭圆C的离心率为_.16若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知凸边形的面积为1,边长,其内部一点到边的距离分别为.求证:.18(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.19(12分)分别为的内角的对边.已知.(1)若,求;(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.20(12分)在极坐标系中,曲
5、线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;(2)求证:.21(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数)在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值22(10分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分
6、,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得的值,结合其对称轴,求得的值,进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得的单调递减区间.【题目详解】解:已知函数,其中,其图像关于直线对称,对满足的,有,.再根据其图像关于直线对称,可得,.,.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令,求得,则函数的单调递减区间是,故选B.【答案点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.2、B【答案解析】由
7、题意可知函数为上为减函数,可知函数为减函数,且,由此可解得实数的取值范围.【题目详解】由题意知函数是上的减函数,于是有,解得,因此,实数的取值范围是故选:B.【答案点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数,一般要分析每支函数的单调性,同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,考查运算求解能力,属于中等题.3、B【答案解析】分别取、的中点、,连接、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案【题目详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、,由于是以为直角等腰直角三角形,
8、为的中点,且、分别为、的中点,所以,所以,所以二面角的平面角为,则,且,所以,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,在中,所以,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【答案点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题4、B【答案解析】人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,计算,代入得到答案.【题目详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,则,解得,从
9、而可得,故.故选:.【答案点睛】本题考查了等比数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.5、B【答案解析】根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【题目详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B【答案点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.6、B【答案解析】求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【题目详解】由,所以,故选:B.【答案点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.7、B【答案解析】求出,把坐标代入方程可求得【题目详解】据题意,得,所以,所以故选:B【答案点睛】本题考查线性回归直线方程,
10、由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值8、D【答案解析】圆心坐标为,代入直线方程,再由乘1法和基本不等式,展开计算即可得到所求最小值【题目详解】圆的圆心为,由题意可得,即,则,当且仅当且即时取等号,故选:【答案点睛】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,注意满足的条件:一正二定三等,同时考查直线与圆的关系,考查运算能力,属于基础题9、C【答案解析】分析:根据集合可直接求解.详解:,故选C点睛:集合题也是每年高考的必考内容,一般以客观题形式出现,一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式,如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决,若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
11、10、C【答案解析】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【题目详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【答案点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.11、B【答案解析】计算的和,然后除以,得到“5阶幻方”的幻和.【题目详解】依题意“5阶幻方”的幻和为,故选B.【答案点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理,考查等差数
12、列前项和公式,属于基础题.12、C【答案解析】利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【题目详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【答案点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】写出展开式的通项公式,考虑当的指数为零时,对应的值即为常数项.【题目详解】的展开式通项公式为: ,令,所以,所以常数项为.故答案为:.【答案点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,难度较易.解答问题的关键是,能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14、【答案解析】直接利用柯西不等式得
13、到答案.【题目详解】根据柯西不等式:,故,当,即,时等号成立.故答案为:.【答案点睛】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.15、【答案解析】采用数形结合,计算以及,然后根据椭圆的定义可得,并使用余弦定理以及,可得结果.【题目详解】如图由,所以由,所以又,则所以所以化简可得:则故答案为:【答案点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用,关键在于根据角度求出线段的长度,考查分析能力以及计算能力,属中档题.16、【答案解析】先将函数在和两处取得极值,转化为方程有两不等实根,且,再令,将问题转化为直线与曲线有两交点,且横坐标满足,用导数方法研究单调性,作出简图,求出时,
14、的值,进而可得出结果.【题目详解】因为,所以,又函数在和两处取得极值,所以是方程的两不等实根,且,即有两不等实根,且,令,则直线与曲线有两交点,且交点横坐标满足,又,由得,所以,当时,即函数在上单调递增;当,时,即函数在和上单调递减;当时,由得,此时,因此,由得.故答案为【答案点睛】本题主要考查导数的应用,已知函数极值点间的关系求参数的问题,通常需要将函数极值点,转化为导函数对应方程的根,再转化为直线与曲线交点的问题来处理,属于常考题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【答案解析】由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【题目详解】因为凸边形的面积为1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)【答案点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对