1、第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例题组一导数与函数的单调性1.(2023广东高考)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是说明 ()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)解析：f(x)(x3)ex，f(x)ex(x2)0，x2.f(x)的单调递增区间为(2，)答案：D2.假设函数h(x)2x在(1，)上是增函数，那么实数k的取值范围是 ()A2，) B2，) C(，2 D(，2解析：因为h(x)2，所以h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)答案：A3函数yax与y在(0，)上都是减函数，那么函数yax3bx25的单调减
2、区间为_解析：根据题意a0，b0.由yax3bx25，得y3ax22bx，令y0，可得x0或x，故所求减区间为(，)和(0，)答案：(，)和(0，)4设函数f(x)x3ax29x1(a0)假设曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间解：(1)因f(x)x3ax29x1，所以f(x)3x22ax9329.即当x时，f(x)取得最小值9.因斜率最小的切线与12xy6平行，即该切线的斜率为12，所以912，即a29.解得a3，由题设a0，故f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数由此可见，函数
3、f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3)题组二导数与函数的极值和最值5.(文)函数f(x)x3ax23x9，f(x)在x3时取得极值，那么a ()A2 B3 C4 D5解析：因为f(x)x3ax23x9，所以f(x)3x22ax3，由题意有f(3)0，所以3(3)22a(3)30，由此解得a5.答案：D(理)设aR，假设函数yexax，xR有大于零的极值点，那么 ()Aa1 Ba1 Ca Da解析：由y(exax)exa0得exa，即xln(a)0a1a1.答案：A6.假设函数f(x)x33xa有3个不同的零点，那么实数a的取值范围是 ()A(2,2) B2,2 C
4、(，1) D(1，)解析：由f(x)3x233(x1)(x1)，且当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以当x1时函数f(x)有极大值，当x1时函数f(x)有极小值要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得2a2.答案：A7函数ysin2xx，x，的最大值是_，最小值是_解析：y2cos2x10，x.而f()，f()，端点f()，f()，所以y的最大值是，最小值是.答案：8(文)函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，假设x时，yf(x)有极值，(1)求a，b，c的值；(2)求yf(
5、x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0. 当x时，yf(x)有极值，那么f()0，可得4a3b40. 由解得a2，b4.设切线l的方程为y3xm.由原点到切线l的距离为，那么，解得m1.切线l不过第四象限，m1.由于切点的横坐标为x1，f(1)4.1abc4，c5；(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4. 令f(x)0，得x2，x.f(x)和f(x)的变化情况如下表：x3，2)2(2，)(，1f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在x2处取得极大值f(2)13，在x处取得
6、极小值f().又f(3)8，f(1)4，f(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.(理)函数f(x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)f(x)mx，假设g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值解：(1)由，切点为(2,0)，故有f(2)0，即4bc30. f(x)3x24bxc，由，f(2)128bc5.得8bc70. 联立、，解得c1，b1，于是函数解析式为f(x)x32x2x2.(2)g(x)x32x2x2mx，g(x)3x24x1，令g(x)0.当函数有极值时，0，方
7、程3x24x10有实根，由4(1m)0，得m1.当m1时，g(x)0有实根x，在x左右两侧均有g(x)0，故函数g(x)无极值当m1时，g(x)0有两个实根，x1(2)，x2(2)，当x变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)g(x)00g(x)极大值极小值故在m(，1)时，函数g(x)有极值；当x(2)时g(x)有极大值；当x(2)时g(x)有极小值题组三导数的综合应用9.对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时， f(x)0，g(x)0，那么x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0
8、解析：由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数当x0时，f(x)，g(x)都单调递增，那么当x0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f(x)0，g(x)0.答案：B10某公司生产某种产品，固定本钱为20 000元，每生产一单位产品，本钱增加100元，总营业收入R与年产量x的关系是RR(x)，那么总利润最大时，每年生产的产品是 ()A100 B150 C200 D300解析：由题意得，总本钱函数为CC(x)20 000100x，所以总利润函数为PP(x)R(x)C(x)而P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，P最大答案：D11设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和y
9、f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是 ()解析：对于图A来说，抛物线为函数f(x)，直线为f(x)；对于图B来说，上凸的曲线为函数f(x)，下凹的曲线为f(x)；对于图C来说，下面的曲线为函数f(x)，上面的曲线f(x)只有图D不符合题设条件答案：D12(2023南通模拟)函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值，(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)假设对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围解：(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，由f()ab0，f(1)32ab0得a，b2，f(x)3x2x2(3x2)(x1)，函数f(x)的单调区间如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(，)与(1，)，递减区间(，1)；(2)f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，f()c为极大值，而f(2)2c，那么f(2)2c为最大值，要使f(x)c2，x1,2恒成立，那么只需要c2f(2)2c，得c1，或c2.
