1、34等比数列学习等比数列要与等差数列比照着学习,这是类比思想的典型范例一、明确复习目标1理解等比数列的概念和性质；2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式 解决简单问题.二建构知识网络1等比数列定义从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.,且第每项不为零.2通项公式,推广:,变式3前n项和, q1时，=.注:应用前n项和公式时,一定要区分q=1与q1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4等比中项:假设a、b、c成等比数列,那么b是a、c的等比中项,且5等比数列an的性质: (1)假设(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续假设干项的和也构成等比数列.
2、6证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:假设(2)等比中项法:假设(3)通项法:假设 (4)前n项和法:假设数列为等比数列。7解等比数列题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二问题) ; (2)转化化归思想; 化归为等比数列,转化为根本量; (3)分类的思想:q=1和q1; 由an+1an=a1qn-1(q1)讨论增减等.(4)等比数列中,次数较高时,常作同除.三、双基题目练练手1.(2023湖北)假设互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，那么a= A.4 B.2 C.-2 D.-42.银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长
3、期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于 ( )A. B.1+r31 C.1+r31 D.r3.2023辽宁在等比数列中,前项和为,假设数列也是等比数列,那么Sn等于 ( )ABC D 4.2023北京设，那么等于( )AB CD5. 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，那么这个数列的公比为 6. 等比数列an中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，那么通项公式为 简答:1-4.DBCD; 2.由题意得1+r31+3q，故q1+r31; 4.通项an=23n-2,f(n)是前n+4项的和; 5. 6.转化为根本量a1，q， an=2n1或an=23n.四、经典例题做一做
4、【例1】 (2023陕西) 正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+6， 代n=1得10a1=a12+5a1+6，a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=
5、5n3【例2】等比数列an的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项为哪一项54，假设该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：1前100项之和S100.2通项公式an.解：设公比为q，由得Sn=80， S2n=6560， 由解得,qn=81,q1, an0,可知最大项为an=a1qn1 qn=81代入得a1=2，q=3， 1前100项之和S100=31001.2通项公式为an=23n1.提炼方法:1.转化为根本量;2. 解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法.【例3】 2023全国在等差数列an中，公差d0,且a2是a1和a4的等比中项,a1,a3,成等比数列
6、，求数列k1,k2,k3,kn的通项kn解：由题意得： 即 又 an=na1 又成等比数列,该数列的公比， 其中第n+2项: 又 所以数列的通项为 方法步骤:1.推a1=d, an=na1;q=a3a1=3,;2.比拟在两数列中的式子.【例4】，点在函数的图象上()1证明数列是等比数列；2设，求及数列的通项；解：由， ，两边取对数得，即 是公比为2的等比数列.由知 x=由x式得【研讨.欣赏】设数列an，a1，假设以a1，a2，an为系数的二次方程：an1x2anx10nx且n2都有根、满足331.1求证:an为等比数列； 2求an；3求an的前n项和Sn.证明1，代入331得anan1，为定值
7、.数列an是等比数列.解2a1，ann1n.ann.解3Sn+)+.五提炼总结以为师1.等比数列的概念和性质，证明数列an是等比数列的方法：2.等比数列的通项公式与前n项和公式的求法与应用;五个元素a1，an，n，q，Sn中知三，可求另两个.次数较高时可除或换元;3.思想.方法 :转化为根本量,利用性质,方程的思想,类比思想.同步练习 34等比数列 【选择题】1.在公比q1的等比数列an中，假设am=p,那么am+n的值为 Apqn+1 Bpqn-1 Cpqn Dpqm+n-12.在等比数列an中，a9+a10=a(a),a19+a20=b,那么a99+a100的值为 A B9 C D103.
8、设an是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3a30=230，那么a3a6a9a30等于 ( )A.210 B.220 C.216 D.2154. 假设等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，那么 ( )A= B C D【填空题】5.2023上海假设首项为a1，公比为q的等比数列an的前n项和总小于这个数列的各项和，那么首项a1，公比q的一组取值可以是a1，q=_.6.设an是首项为1的正项数列，且n+1an+12nan2+an+1an=0nNx，那么它的通项公式an=_.简答.提示：1-4.CABC; 3. a1a2a3=3，故a1a2a3a30=3.又q=
9、2，故a3a6a9a30=220.选B; 4.特例法,设为常数列a,可知选C; 5.由题意且|q|1对nN都成立，a10，0q1.答案：1，a10，0q1的一组数; 6. 分解因式得n+1an+1nanan+1+an=0，又an0，那么n+1an+1nan=0，即=.又a1=1，由累积法可得an=.【解答题】7.数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1=a1，bn=anan1n2，假设an+Sn=n.1设cn=an1，求证：数列cn是等比数列；2求数列bn的通项公式.证明1：a1=S1，an+Sn=n，a1+S1=1，得a1=.又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2an+11=an1，即
10、=，也即=，故数列cn是等比数列.2解：c1=a11=，cn=，an=cn+1=1，an1=1.故当n2时，bn=anan1=.又b1=a1=，即bn=nNx.8.设数列an、bnbn0，nx，满足annx，证明：an为等差数列的充要条件是bn为等比数列.证明：充分性：假设bn为等比数列，设公比为q，那么anlgb1n1lgq，an1anlgq为常数，an为等差数列.必要性：由an得nanlgb1lgb2lgbn，n1an1lgb1lgb2lgbn1，nan1anan1lgbn1.假设an为等差数列，设公差为d，那么nda1ndlgbn1，bn110，bn10.102d为常数.bn为等比数列.
11、9. 设数列an前n的项和为 Sn，且其中m为常数， 1求证：an是等比数列； 2假设数列an的公比满足q=f(m)且为等差数列，并求解：1由，得两式相减，得 是等比数列 点评：为了求数列的通项，用取倒数的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题10.数列an中，a1=，并且数列log2a2，log2a3，log2an+1是公差为1的等差数列，求数列an的通项公式.分析：由数列log2an+1为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an+1与an的一个递推关系式解：数列log2an+1是公差为1的等差数列，log2an+1=log2a2a1+n11=log2n+1=n+1，于是有an+1=2n+1. 两边同乘2n+1得记即是等比数列,首项 an=.【探索题】 数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,写出的前5项 证明是等比数列思维分析:容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.解(1) 的前5项为:8、32、128、512、20482设,而am+1=22m=2(3p+2)=3(2p+1)+1,am+1不在bn中;又am+2=42m=4(3p+2)=3(4p+2)+2am+2在bn中 特别识记:此题是很特别的方法,与前面两个等差数列中相同的项构成的新数列的求法是不同的.应特别的记一记.备选题3.(2023湖南
