1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
2、的。1已知数列,是首项为8,公比为得等比数列,则等于( )A64B32C2D42在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为( )A5B6C7D93已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:在上单调递增;在上没有零点;在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是( )ABCD4的展开式中的系数是-10,则实数( )A2B1C-1D-25设集合(为实数集),则( )ABCD6已知数列的前项和为,且,则( )ABCD7设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是( )ABCD8已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是( )ABCD9已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是(
3、 )ABCD10设实数、满足约束条件,则的最小值为( )A2B24C16D1411已知函数在上可导且恒成立,则下列不等式中一定成立的是( )A、B、C、D、12已知双曲线满足以下条件:双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点则双曲线的离心率是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知函数则_.14在三棱锥中,已知,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为_.15若函数与函数,在公共点处有共同的切线,则实数的值为_16已知抛物线的焦点为,斜率为2的直线与的交点为,若,则直线的方程为_三、解答
4、题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.18(12分)设数列是等比数列,已知, (1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式19(12分)如图,三棱柱中,平面,分别为,的中点.(1)求证: 平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.20(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(ab0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q
5、.若,求直线AB的方程.21(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,分别为,的中点(1)求证:(2)若,求二面角的余弦值22(10分)已知函数,()若,求的取值范围;()若,对,都有不等式恒成立,求的取值范围2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】根据题意依次计算得到答案.【题目详解】根据题意知:,故,.故选:.【答案点睛】本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.2、A【答案解析】由题可知:,且可得,构造函数求导,通过导函数求出的单调性,结合图像得出,即得出,从而得
6、出的最大值.【题目详解】因为,则,即整理得,令,设,则,令,则,令,则,故在上单调递增,在上单调递减,则,因为,由题可知:时,则,所以,所以,当无限接近时,满足条件,所以,所以要使得故当时,可有,故,即,所以:最大值为5.故选:A.【答案点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值,以及运用构造函数法和放缩法,同时考查转化思想和解题能力.3、A【答案解析】先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【题目详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号 故选:A.【
7、答案点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、C【答案解析】利用通项公式找到的系数,令其等于-10即可.【题目详解】二项式展开式的通项为,令,得,则,所以,解得.故选:C【答案点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.5、A【答案解析】根据集合交集与补集运算,即可求得.【题目详解】集合,所以所以故选:A【答案点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.6、C【答案解析】根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【题目详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所
8、以公比为.所以,所以.故选:C【答案点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.7、D【答案解析】令,可得.在坐标系内画出函数的图象(如图所示).当时,.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时,有,解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是.选D.点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
9、(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.8、A【答案解析】先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【题目详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,得,所以的取值范围是.故选:A.【答案点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.9、B【答案解析】根据所给函数解析式,画出
10、函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【题目详解】根据题意,画出函数图像如下图所示:函数的零点,即.由图像可知,所以是的一个零点,当时,若,则,即,所以,解得;当时,则,且若在时有一个零点,则,综上可得,故选:B.【答案点睛】本题考查了函数图像的画法,函数零点定义及应用,根据零点个数求参数的取值范围,导数的几何意义应用,属于中档题.10、D【答案解析】做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【题目详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根
11、据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.【答案点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.11、A【答案解析】设,利用导数和题设条件,得到,得出函数在R上单调递增,得到,进而变形即可求解.【题目详解】由题意,设,则,又由,所以,即函数在R上单调递增,则,即,变形可得.故选:A.【答案点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用,以及利用单调性比较大小,其中解答中根据题意合理构造新函数,利用新函数的单调性求解是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与计算能力,属于中档试题.12、B【答案解析】由已知可求
12、出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率【题目详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,所以,设,则,解得, ,可得,又,可解得,故双曲线的离心率是.故选B【答案点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】先由解析式求得(2),再求(2)【题目详解】(2),所以(2),故答案为:【答案点睛】本题考查对数、指数的运算性质,分段函
13、数求值关键是“对号入座”,属于容易题14、【答案解析】取的中点,设等边三角形的中心为,连接.根据等边三角形的性质可求得, 由等腰直角三角形的性质,得,根据面面垂直的性质得平面,由勾股定理求得,可得为三棱锥外接球的球心,根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【题目详解】在等边三角形中,取的中点,设等边三角形的中心为,连接.由,得,由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,所以,为三棱锥外接球的球心,外接球半径,三棱锥外接球的表面积为.故答案为:【答案点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积,关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置,球的半径,属于中档题.15、【答案解析】函数的定义域为,求出导函数,利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线,解得,联立解得的值【题目详解】解:函数的定义域为,设曲线与曲线公共点为,由于在公共点处有共同的切线,解得,由,可得联立,解得故答案为:【答案点睛】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题16、【答案解析】设直线l的方程为,联立直线l与抛物线C的方程,得到A,B点横坐标的关系式,代入到中,解出t的值,即可求得直线l的方程【题目详解】设直线由题设得,故,由题设可得由可得,则,从而,得,所以l的方程为,故答案为:【答案点睛】本题主要考查了直线