1、妙用韦达定理解题在一元二次方程中，如果，那么它的两个根、具有如下关系：、。这就是一元二次方程的根与系数的关系，简称韦达定理。本文就如何利用韦达定理解决一元二次方程中的有关问题略举几例，供同学们在学习中借鉴。一、 巧用韦达定理求值例1：、是方程的两个根，求的值。解：因为是方程的根，所以 即，由韦达定理知：，于是例2：、是方程的两个根，求代数式的值。解：由于、是方程的根，故有、从而有、，另一方面，由韦达定理得、因此=解题反思：上述两例，都巧妙地利用了韦达定理，但在解题过程中的灵活性，很值得我们去思考。二：利用韦达定理求作新方程例3：方程，求作一个新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的2倍解：设为
2、原方程的任一根，为新方程的任一根，由题意得 即 将 代入方程 得 即 为所求新方程。另解：设 为原方程的两个根， 为新方程的两个根，那么、 由韦达定理得：、 、 故所求新方程为 例4：方程，求作一新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的平方。解：设、为原方程的两个根， 为新方程的两个根，那么、由韦达定理得：、 有、 故所求新方程为例5：方程，求作一新方程，使新方程的两根分别是原方程两根的倒数。解：设、为原方程的两个根， 为新方程的两个根，那么、 由韦达定理得：、，那么， 故所求新方程为、即为 解题反思：求作新方程，关键是步骤与方法的把握，且有一定的规律可循。三：利用韦达定理巧解方程例6：假设是
3、实数，且的一个解的相反数是方程的一个解，求方程的根。解：设方程的两根为、，方程的两根为、由韦达定理得 又 再由得 得 将代入得 所以方程 即为 故所求方程的根为 解题反思：在利用韦达定理时，应注意其相关联系，进行巧妙整合，从而使解题到达优化。四：利用韦达定理求抛物线解析式例7：抛物线与轴交于A、B两点，（A 在B的左侧）与轴的正半轴交于点C，为，A、B两点横坐标、是关于的方程的两个根，且，求抛物线解析式。解：由韦达定理得：、因为所以有 即 化简得 解得 当时，方程为得 此时点A（-4 0） B（0 0）不合题意 （舍去）当时，方程为 解得 得A（-1 0） B（3 0）满足条件。故所求抛物线解析式为解题反思：在利用韦达定理解决二次函数的问题中，要注意结果的验证，以防出现多解或漏解等问题。五：利用韦达定理解决证明问题例8：关于的二次方程有两个相等实根，求证：解：因为 所以是原方程的根，又原方程两实根相等，所以，从而由韦达定理得：即，所以 故 原题得证。解题反思：此题运用了一元二次方程的一个重要结论“假设那么方程必有一根为1反之也成立。综上所述，韦达定理在解决方程及函数等问题中应用比较广泛，其严密性、灵活性要求甚高，同学们在学习过程中应严格把握，力求到达较高层次，从而为将来的学习奠定良好的根底。
