1、第二节 空间图形的根本关系与公理A组1以下四个命题中，正确命题的个数是_不共面的四点中，其中任意三点不共线；假设点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，那么A、B、C、D、E共面；假设直线a、b共面，直线a、c共面，那么直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面解析：正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是假设A、B、C共线，那么结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上答案：12给出以下四个命题：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；假设M，M，l，那么Ml；空间中，相交于同一
2、点的三条直线在同一平面内其中真命题的个数为_解析：根据平面的根本性质知正确答案：13(2023年高考湖南卷改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为_解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件答案：54正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是_解析：边长是正方体棱长的倍的正六边形答案：正六边形5(原创题)直线m、n及平面，其中mn，那么平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点
3、；(4)空集其中正确的选项是_解析：如图1，当直线m或直线n在平面内且m、n所在平面与垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到平面的距离相等且两直线所在平面与平面垂直，那么平面为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与平面平行，那么符合题意的点为一条直线答案：(1)(2)(4)6如图，平面、，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)证明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两腰，AB，CD必定相交于一点如图，设ABCD=M.又AB，CD，M，且M，M.又=l，Ml，即AB，CD，l共点B组1有以下三个命题：平面外的一条直线
4、与这个平面最多有一个公共点；直线l在平面内，可以用符号“l表示；假设平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，那么与相交，其中所有正确命题的序号是_解析：表示线与面的关系用“或“表示，故错误答案：2(2023年黄冈调研)以下命题中正确的选项是_假设ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q、R，那么P、Q、R三点共线；假设三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，那么这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面解析：在中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与的交线上，即P、Q、R三点共线，故正确；在中，因为ab，所以a
5、与b确定一个平面，而l上有A、B两点在该平面上，所以l，即a、b、l三线共面于；同理a、c、l三线也共面，不妨设为，而、有两条公共的直线a、l，与重合，即这些直线共面，故正确；在中，不妨设其中有四点共面，那么它们最多只能确定7个平面，故错答案：3对于空间三条直线，有以下四个条件：三条直线两两相交且不共点三条直线两两平行三条直线共点有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：_.解析：易知中的三条直线一定共面，中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，那么第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面答案：4(2023年高考浙江卷改编)对两条不相交
6、的空间直线a与b，必存在平面，使得_a，ba，b a，ba，b解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面当a、b异面时，不存在平面满足、；又只有当ab时才成立答案：5正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，那么直线A1B与直线EF的位置关系是_解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案：相交6(2023年湖南郴州调研)设，是三个不重合的平面，l是直线，给出以下四个命题：假设，l，那么l；假设l，l，那么；假设l上有两点到的距离相等，那么l；假设，那么.其中正确命题的序号是_解析：错误，l可能在平面内；正确，l，
7、l，nlnn，那么；错误，直线可能与平面相交；正确故填.答案：7(2023年高考广东卷改编)给定以下四个命题：假设一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是_解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与平面垂直的判定定理可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故不对；假设两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与
8、另一个平面垂直，故正确答案：8(2023年高考宁夏、海南卷改编)如下列图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，那么以下结论中错误的选项是_ACBEEF平面ABCD三棱锥ABEF的体积为定值异面直线AE，BF所成的角为定值解析：AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE.故正确B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD.故正确中由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值又点A到平面BEF的距离为，故VABEF为定值当点E在D1处，F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如下列图，可得A(1,1,0)
9、，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F.A(0，1,1)，B(，1)，AB.又|，|，cosA，B，AE与BF成30角当E为D1B1中点，F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，A，B(0,0,1)，AB1，|A| ，cosA，B .故错答案：9.(2023年高考陕西卷改编)如图，=l，A，B，A、B到l的距离分别是a和b，AB与、所成的角分别是和，AB在、内的射影分别是m和n.假设ab，那么与的大小关系为_，m与n的大小关系为_.解析：AB与成的角为ABC，AB与成的角为BAD，sin sinABC，sinsinBAD.ab，sinsin.n.答案：mn10如图，正方体ABCDA1B1C1
10、D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，假设A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置解：在正方体AC1中，连结PQ，QA1C1，Q平面A1C1CA.又QEF，Q平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点平面A1C1CA平面BDEFPQ.又A1C平面BDEFR，RA1C，R平面A1C1CA，R平面BDEF.R是A1C与PQ的交点如图11如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(
11、只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长解：(1)连结ON，由ONAD知，AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个平面(如下列图)三个平面，和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交，记交点为Q，OQ是与的交线连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故直线OPQ即为所求作的直线(2)在RtAPQ中，易知AQ1，又易知APQ OPN，2，AN，AP，PQ.12(2023年高考四川卷)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形
12、BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面(3)证明：连结EG.由ABBE，BE綊AG及BAG90知ABEG是正方形，故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影根据三垂线定理，BGED.又EDEAE，所以BG平面ADE.由(1)知，CHBG，所以CH平面ADE.由(2)知F平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.
