1、27 函数的周期性函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：假设T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，那么f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.假设T是周期，那么kTk0,kZ也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最
2、小正周期。如常函数f(x)=C； 3.假设函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(xa),那么2a为函数f(x)的周期。假设f(x)满足f(a+x)=f(ax)那么f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.假设函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，ab，那么2b-a是fx的一个周期5.假设函数f(x)图象有两个对称中心a，0，b，0ab，那么2b-a是fx的一个周期。(证一证)6.假设函数fx有一条对称轴x=a和一个对称中心b，0a0,使，那么的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因-1，0是中心，x
3、=0是对称轴，那么周期是4；4、，；5、；由，周期为6。四.经典例题做一做【例1】f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为解析式的区间上。 x(1,2), 那么-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2).解法2从图象入手也可解决，且较直观f(x)=f(x+2)如图：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函数x(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x(1,2)时
4、x-2-1，0f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题表达了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),假设f(0)=2023,求f(2023)的值。解：周期为8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】假设函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.求的周期；证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (kZ );讨论f(
5、x)在(1,2)上的单调性；解: 由f(x)=f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.设P(x,y)是图象上任意一点,那么y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, 点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.设1x1x22,那么-2-x2-x1-1, 02-x22-x11.f(x)在(-1,0)上递
6、增, f(2-x1)f(2-x2)(x)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(x)为f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究.欣赏】函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1x1)是奇函数.又知y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5. 证明：；求的解析式；求在上的解析式.解：是以为周期的周期函数，且在-1,1上是奇函数，.当时，由题意可设，由得，.是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而
7、，当时，从而时，故时，.当时，有，.当时，.五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.fx是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，那么f的值为A.0B.C.TD.2.2023天津定义在R上的函数fx既是偶函数又是周期函数.假设fx的最小正周期是，且当x0，时，fx=sinx，那么f的值为A. B.C.D.【填空题】3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,那么= 4.函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x
8、)的一个最小正周 5.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,那么f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x(0，3时，f(x)=2x，那么f(2023)= 。 答案提示：1、A；由f=f+T=f=f，知f=0.或取特殊函数fx=sinx2、D； f=f2=f=f=sin=.3、; 4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -66
9、、 ，周期T=6， F(2023)=f(3)=6【解答题】7.设函数f(x)的最小正周期为2023，并且f(1001+x)=f(1001x)对一切xR均成立，试讨论f(x)的奇偶性.解: 周期是2023, f(2023+x)=f(x),又由f(1001+x)=f(1001x)得f(2023-x)=f(x)对任意的x都有f(x)=f(2023-x)=f(-x),f(x)是偶函数.8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，x2,3时f(x)=x，求x-2,0时f(x)的解析式。分析：由T=2可得x-2,-1和x0,1时的解析式；再由奇偶性可得-1，0上的解析式。解：因为函数f(x)
10、是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x).又由于f(x)为偶函数，故所以解析式为9.设f(x)是定义在-，+上的函数，对一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1x1时，f(x)=2x-1，求当1x3时，函数f(x)的解析式。思路分析： f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切xR成立， 以x-2代x得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当1x3时，-1x-21， f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5， f(x)=-2x+51x3评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数
11、值有一定关系。在化归过程中还表达了整体思想。10.2023广东设函数在上满足， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0。试判断函数y=f(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间-2023，2023上的根的个数，并证明你的结论解：由得即由易得，所以，而，从而且故函数是非奇非偶函数;(II)由,从而知函数的周期为当时，由，又，那么当时，只有方程=0在一个周期内只有两个解而函数在闭区间-2023，2023共含有401个周期，所以方程=0在闭区间-2023，2023共含有802个解【探索题】对于kZ，用Ik表示区间(2k-1，2k+1。xIk时，f(x) (x-2k)2，(1)当kNx时,求集合Mka使方程f(x)ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值(2)并讨论f(x)的周期性。解：yf(x)图像就是将yx2(x-1，1向右平移2k个单位所得，其中kN设y1f(x),y2ax，由集合Mk可知，假设aM，那么函数y1f(x)与y2ax图像有 两个交点，即当x2k+1时，0y210aMka0a，kN，即Mk(0，对任意 ，所以f(x)是2为周期的周期函数。思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力
