1、锐角三角函数和解直角三角形一选择题1（2023学年济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53方向请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan3734，tan5343）A225mB275mC300mD315m【解答】解：如图，作CEBA于E设ECxm，BEym在RtECB中，tan53=ECEB，即43=xy，在RtAEC中，tan37=ECAE，即34=x105+y，解得x180，y135，AC=EC2+AE2=1802+2402=300（m），故选：C2（2023学年营
2、口）如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADBC，BC=12AD，AC与BD交于点E，ACBD，则tanBAC的值是（）A14B24C22D13【解答】解：ADBC，DAB90，ABC180DAB90，BAC+EAD90，ACBD，AED90，ADB+EAD90，BACADB，ABCDAB，ABDA=BCAB，BC=12AD，AD2BC，AB2BCADBC2BC2BC2，AB=2BC，在RtABC中，tanBAC=BCAB=BC2BC=22；故选：C3（2023学年日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30，则甲楼高度为（）A11米B（36153
3、）米C153米D（36103）米【解答】解：过点A作AEBD，交BD于点E，在RtABE中，AE30米，BAE30，BE30tan30103（米），ACEDBDBE（36103）（米）甲楼高为（36103）米故选：D4（2023学年长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A3sin米B3cos米C3sin米D3cos米【解答】解：由题意可得：sin=BCAB=BC3，故BC3sin（m）故选：A5（2023学年湘西州）如图，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cosBDC=57，
4、则BC的长是（）A10B8C43D26【解答】解：C90，cosBDC=57，设CD5x，BD7x，BC26x，AB的垂直平分线EF交AC于点D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC26；故选：D6（2023学年宜昌）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）A43B34C35D45【解答】解：如图，过C作CDAB于D，则ADC90，AC=AD2+CD2=32+42=5sinBAC=CDAC=45故选：D7（2023学年广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处
5、看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）（）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米【解答】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，tan65=OFDF，OFxtan65，BF3+x，tan35=OFBF，OF（3+x）tan35，2.1x0.7（3+x），x1.5，OF1.52.13.15，OE3.15+1.54.65，故选：C8如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是BA
6、C，若tanBAC=25，则此斜坡的水平距离AC为（）A75mB50mC30mD12m【解答】解：BCA90，tanBAC=25，BC30m，tanBAC=25=BCAC=30AC，解得，AC75，故选：A9（2023学年益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离ABa，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）Aasin+asinBacos+acosCatan+atanDatan+atan【解答】解：在RtABD和RtABC中，ABa，tan=
7、BCAB，tan=BDAB，BCatan，BDatan，CDBC+BDatan+atan；故选：C10（2023学年河北）如图，从点C观测点D的仰角是（）A DABBDCECDCADADC【解答】解：从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，从点C观测点D的仰角是DCE，故选：B.11（2023学年长沙）如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（）A25B45C53D10【解答】解：如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB90，tanA=BEAE=2，设AEa，BE2a，则有：100a2+4a2，a220，a25或
8、25（舍弃），BE2a45，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE45（等腰三角形两腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH=DHBD=AEAB=55，DH=55BD，CD+55BDCD+DH，CD+DHCM，CD+55BD45，CD+55BD的最小值为45方法二：作CMAB于M，交BE于点D，则点D满足题意通过三角形相似或三角函数证得55BDDM，从而得到CD+55BDCM45故选：B12（2023学年苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度是1.5m测得教学楼的顶部A处的仰角为30则教学楼的高度是
9、（）A55.5mB54mC19.5mD18m【解答】解：过D作DEAB，在D处测得教学楼的顶部A的仰角为30，ADE30，BCDE183m，AEDEtan3018m，ABAE+BEAE+CD18+1.519.5m，故选：C二填空题13（2023学年阜新）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60方向上，此时船到灯塔的距离为 nmile（结果保留根号）【解答】解：根据题意，得：PAB60，PBA30，AB2.540100（nmile），P180PABPBA180603090在RtPAB
10、中，PBABsinPAB10032=503（nmile）故答案为：50314（2023学年葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得PAB30，在B处测得PBC75，若AB80米，则河两岸之间的距离约为 米（31.73，结果精确到0.1米）【解答】解：过点A作AEa于点E，过点B作BDPA于点D，PBC75，PAB30，DPB45，AB80，BD40，AD403，PDDB40，APAD+PD403+40，ab，EPAPAB30，AE=12AP203+2054.6，故答案为：54.615.（2023学年鄂尔多斯）如果三
11、角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”若RtABC是“好玩三角形”，且A90，则tanABC 【解答】解：如图1中，在RtABC中，A90，CE是ABC的中线，设ABEC2a，则AEEBa，AC=3a，tanABC=ACAB=32如图2中，在RtABC中，A90，BE是ABC的中线，设EBAC2a，则AEECa，AB=3a，tanABC=ACAB=233，故答案为：32或23316（2023学年雅安）在RtABC中，C90，AB5，BC4，则sinA 【解答】解：在RtABC中，sinA=BCAB=45，故答案为：4517（2023学年辽阳）某数学小组三名同学运用自
12、己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45方向上，点C在点A北偏东60方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车 （填“超速”或“没有超速”）（参考数据：31.732）【解答】解：作AD直线l于D，在RtADB中，ABD45，BDAD100，在RtADB中，tanACD=ADCD，则CD=ADtanACD=1003173.2，BC173.210073.2（米），小汽车的速度为：0.073253600=52.704（千米/小时），52.704千米/小时速
13、60千米/小时，小汽车没有超速，故答案为：没有超速18（2023学年大连）如图，建筑物C上有一杆AB从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53，观测旗杆底部B的仰角为45，则旗杆AB的高度约为 m（结果取整数，参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）【解答】解：在RtBCD中，tanBDC=BCCD，则BCCDtanBDC10，在RtACD中，tanADC=ACCD，则ACCDtanADC101.3313.3，ABACBC3.33（m），故答案为：319（2023学年徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45，测得该建筑底部C处的俯角为17若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为 m（参考
