1、第 27 卷第 6 期2022 年 12 月哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报JOUNAL OF HABIN UNIVESITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGYVol.27No.6Dec.2022DF 法与 DG 法解抛物方程和对流扩散方程等价性毕卉，刘磊(哈尔滨理工大学 理学院，哈尔滨 150080)摘要:研究直接通量重构法(简称 DF)和间断 Galerkin 法(简称 DG)求解抛物方程和对流扩散方程的等价性问题。研究过程分两部分:第一部分对于 DF 法和直接间断 Galerkin 法求解抛物方程的等价性给出两种证明。第一种证明主要用到 K 点高斯求积具有 2K 1
2、阶代数精度。第二种证明主要用到勒让德多项式、拉登多项式和洛巴托多项式的特殊性质。第二部分对于 DF 法和局部间断 Galerkin 法求解对流扩散方程的等价性给出两种证明。主要思想是利用 K 1 次多项式至多有 K 1 个不同的零点，从而通过插值法将局部间断 Galerkin 法所用到的辅助变量直接表达出来。两种方法等价性的证明对于插值法和投影法解偏微分方程的等价性理论做出了进一步完善。关键词:直接间断 Galerkin 法;局部间断 Galerkin 法;直接通量重构法;抛物方程;对流扩散方程DOI:10 15938/j jhust 2022 06 019中图分类号:O241 3文献标志码:
3、A文章编号:10072683(2022)06015207Equivalence Between DF Method and DG Method for SolvingParabolic Equation and Convection-diffusion EquationBI Hui，LIU Lei(School of Sciences，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China)Abstract:The equivalence between direct flux reconstruction method
4、and discontinuous Galerkin method forsolving parabolic equation and convection-diffusion equation is studied The research process is divided into twoparts:the first part gives two proofs for the equivalence of DF method and direct discontinuous Galerkin methodfor solving parabolic equations The firs
5、t proof mainly uses K-point Gauss quadrature with 2K 1 order algebraicaccuracy The second proof mainly uses the special properties of Legendre polynomials，adau polynomial andLobatto polynomial In the second part，the equivalence of DF method and local discontinuous Galerkin method insolving convectio
6、n-diffusion equation is proved The main idea is that the polynomial of degree K 1 has at most K1 different zeros，so that the auxiliary variables used in local discontinuous Galerkin method can be directlyexpressed by interpolation The proof of equivalence between the two methods improves the equival
7、ence theory ofinterpolation method and projection method for solving partial differential equationsKeywords:direct discontinuous Galerkin methods;local discontinuous Galerkin methods;direct fluxreconstruction;parabolic equation;convection diffusion equation收稿日期:2021 08 22基金项目:黑龙江省自然科学基金联合引导项目(LH2020
8、A015)作者简介:刘磊(1994)，男，硕士研究生通信作者:毕卉(1982)，女，博士，教授，博士研究生导师，E-mail:bi_hui2002 aliyun com0引言绝大多数偏微分方程都无法求得其精确解，因此可以考虑借助计算机求其近似解。大体上说，近似解求法可分为插值法和试函数法两种。插值法是通过插值理论得到近似解，试函数法是通过积分得到解的投影，将投影作为近似解。在计算流体力学领域，间断 Galerkin 法(discontinuous Galerkin，DG法)是 1973 年由 eed1 和 Hill 首次提出使用的，作为试函数法的一种，是近来使用最广泛的方法之一，具有高稳定性、
9、高精度的优点。最近，对于含有高阶偏导数的偏微分方程，局部间断 Galerkin(local dis-continuous Galerkin methods，LDG)法和直接间断Galerkin(direct discontinuous Galerkin，DDG)法都取得了不错的效果。Shu C W，Meng X 和 Cao WX 对上述方法的理论问题有很深入的研究2 14。2007 年，H T Huynh 提出一种全新的插值与投影思想相结合的高精度方法:通量重构(flux re-construction，F)法。随后，H T Huynh 和 P EVincent 等对 F 法的收敛性问题进行了
10、深入的研究15 19。2016 年 omero，Asthana 和 Jameson 改进了 F 法，得到了适用于任何高阶非光滑网格20 仅使用插值法的直接通量重构(direct flux reconstruc-tion，DF)法。对于仅含一阶偏导数的偏微分方程F 法，DF 法和 DG 法的等价性已得到严格的数学证明21。但对于 DG 法、F 法和 DF 法求解含有高阶偏导数的偏微分方程是否等价问题，还有待进一步求证。研究高阶方程 DG 法与通量重构法等价性问题是对插值法和投影法解偏微分方程的等价性理论的进一步完善。本文将针对具有二阶偏导数的抛物方程证明DDG 法与 DF 法的等价性，针对对流扩
11、散方程证明 LDG 法与 DF 法的等价性。因为 DF 法、DDG法和 LDG 法都是先将偏微分方程近似改写为常微分方程组，再对常微分方程组用龙格库塔编程求数值解，所以只需证明近似改写得到的常微分方程组等价即可得到数值解法等价。本文结构如下:第 1 节引言部分介绍通量重构法和间断有限元法的国内外发展状况和本文主要研究内容;第 2 节预备知识介绍本文证明所用到的符号以及所用到的特殊多项式及性质;第 3 节介绍抛物方程的 DDG 数值解法和 DF 数值解法，并给出两种 DDG 数值解法和 DF 数值解法的等价性证明;第 4 节介绍对流扩散方程 LDG 数值解法和 DF数值解法，并给出两种 LDG
12、数值解法和 DF 数值解法的等价性证明;最后一节为结论和展望。1预备知识1 1符号介绍设 =0，2，将 均匀剖分为 N 段:0=x1/2 x3/2 xN+1/2=2令 ZN=1，2，N，当 j ZN时，记 Ej=xj1/2，xj+1/2，xj=(xj1/2+xj+1/2)/2，hj=(xj+1/2xj1/2)/2。将 Ej上不超过 K 次多项式全体构成的空间记作 Pj，K，把 Ej上函数 rj在 Pj，K上的投影记作Pj，K(rj)。设 I=1，1，将 I 上不超过 K 次多项式全体构成的空间记作 PK，把 I 上函数 rI在 PK上的投影记作PK(rI)。对于任意I上的点可以通过线性变换:x
13、=hj/2+xj(1)得到 Ej上与 相对应的点 x;对于任意 I 上的可微函数 rI()可以通过线性变换:rj(x)=rI(x)(2)得到Ej上与rI()对应的函数rj(x)。rj(x)的导数可以通过线性变换:drjdx=2hjdrId(3)得到。对于 Ej上的函数 uj，用 uj|x0表示 uj在点 x0处的左极限，用 u+j|x0表示 uj在点 x0处的右极限。当 K 0，在 I 上标准的 K 次勒让德多项式如下:LK(x)=12KK!(x2 1)K(K)(4)I 上标准 K 次勒让德多项式的零点记作:1，2，K，也称为I上K点高斯求积节点，规定0=1，K+1=1。对于jZN，利用式(1
14、)式(4)可以得到Ej上的K 次勒让德多项式 Lj，K。并且把Lj，K的零点记 作:xj，1，xj，2，xj，K，规 定 xj，0=xj1/2，xj，K+1=xj+1/2。对于每个小区间 Ej构造两组拉格朗日插值基函数:第1 组以 xj，1，xj，2xj，K为插值节点，用 lj，1，lj，2，lj，K表示拉格朗日插值基函数。第2 组以 xj，0，xj，1，xj，K+1为插值节点，用 lj，0，lj，1，lj，K+1表示拉格朗日插值基函数。351第 6 期毕卉等:DF 法与 DG 法解抛物方程和对流扩散方程等价性1 2拉登多项式及相关性质拉登多项式分为左拉登多项式和右拉登多项式。当 K 1，在
15、I 上标准的 K 次左拉登多项式定义为L，K(x)=12(LK+LK1)(5)这里主要用到的左拉登多项式性质如下:1)L，K(1)=0，L，K(1)=1;2)PK2(L，K)=0。当 K 1，在 I 上标准的 K 次右拉登多项式定义为，K(x)=(1)K2(LK LK1)(6)本文主要用的右拉登多项式性质如下:1)，K(1)=1，K(1)=0;2)PK2(L，K)=0。同理，对于 j ZN，利用式(1)、(2)、(3)、(5)、(6)可以得到 Ej上的 K 次左拉登多项式 j，L，K和右拉登多项式 j，K以及相关性质。1 3洛巴托多项式及相关性质当 K 2，在 I 上标准的 K 次洛巴托多项式
16、定义如下:LoK(x)=LK LK2(7)本文主要用的洛巴托多项式性质有:1)LoK(1)=LoK(1)=0;2)PK3(LoK)=0;3)LoK=c1LK1;4)c2LoK+1=(1 2)LK。洛巴托多项式的零点称为洛巴托点，上述性质3)、4)中的c1，c2是两个常数。性质3)说明K次洛巴托多项式导数的零点恰是 K 1 次勒让德多项式的零点。对于 j ZN，利用式(1)、(2)、(3)、(7)可以得到 Ej上的 K 次洛巴托多项式 Loj，K及 Loj，K的上述4 条性质。1 4高斯求积及相关性质高斯求积是一种近似求积方法，本文主要使用K 点高斯求积，具体格式如下:设 f 是 I 上可积函数，f 在I 上的积分可以近似表达:Ifdx Ki=1wifi(8)其中fi=f(i)，w1，w2wK是I上的K点高斯求积系数(wi=Ilidx)。当 f 是不超过 2K 1 次多项式，式(8)是精确的:Ifdx=Ki=1wifi(9)对于 j ZN，利用式(1)、(2)、(8)可以得到Ej上的 K 点高斯求积，设 f 是 Ej上可积函数，f 在 Ej上的积分可以近似表达为Ejfdx hj2Ki=1
