1、专题21 菱形 专题知识回顾 1菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。4菱形的面积：S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A2.5B3C4D5【答案】A【解析】四边形ABCD为菱形，CDBC=204=5
2、，且O为BD的中点，E为CD的中点，OE为BCD的中位线，OE=12CB2.5【例题2】（2023年广西梧州）如图，在菱形中，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是【答案】【解析】连接交于，如图所示：四边形是菱形，由旋转的性质得：，四边形是菱形，。 专题典型训练题 一、选择题1.（2023年四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A8B12C16D32【答案】【解析】如图所示：四边形ABCD是菱形，AOCO=12AC，DOBO=12BD，ACBD，面积为28，12ACBD2ODAO28 菱形的边长为6，OD2+OA236 ，由两
3、式可得：（OD+AO）2OD2+OA2+2ODAO36+2864OD+AO8，2（OD+AO）16，即该菱形的两条对角线的长度之和为162.(2023年四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），AOC=60，则对角线交点E的坐标为（）A.B. C. D. 【答案】D【解析】过点E作EFx轴于点F，四边形OABC为菱形，AOC=60，=30，FAE=60，A（4，0），OA=4，=2，EF=，OF=AO-AF=4-1=3，3.（2023年四川省广安市）如图，在边长为的菱形中，过点作于点，现将ABE沿直线AE翻折至AFE的位置，AF与CD交于点G则C
4、G等于（ ） A. B.1 C. D. .【答案】A【解析】因为B=30，AB=，AEBC，所以BE=，所以EC=-，则CF=3-，又因为CGAB，所以,所以CG=.4.（2023年四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【答案】C【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EFGHAB，EHFGCD，又由AB=CD，得EFFGGHEH时，四边形EFGH是
5、菱形点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，EFGHAB，EHFGCD，AB=CD，EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形，故选C5. （2023年贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE则下列说法错误的是（）AABC60BSABE2SADEC若AB4，则BE4DsinCBE【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CEDE，AECD，四边形ABCD为菱形，ADCD2DE，ABDE，在RtADE中，cosD，D60，AB
6、C60，所以A选项的结论正确；SABEABAE，SADEDEAE，而AB2DE，SABE2SADE，所以B选项的结论正确；若AB4，则DE2，AE2，在RtABE中，BE2，所以C选项的结论错误；作EHBC交BC的延长线于H，如图，设AB4a，则CE2a，BC4a，BE2a，在CHE中，ECHD60，CHa，EHa，sinCBE，所以D选项的结论正确故选：C6.（2023年贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，ABC60，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A1cmB2 cmC3cmD4cm【答案】A 【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据ABC60，而ABBC，易证BA
7、C是等边三角形，从而可求AC的长四边形ABCD是菱形，AC是对角线，ABBCCDAD，ABC60，ABC是等边三角形，ABBCAC，菱形ABCD的周长是4cm，ABBCAC1cm7.（2023年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB2，DAB60，点E、F分别在边DC、BC上，且CECD，CFCB，则SCEF（）ABCD【答案】D【解答】四边形ABCD为菱形，AB2，DAB60ABBCCD2，DCB60CECD，CFCBCECFCEF为等边三角形SCEF8.（2023年河北省）如图，菱形ABCD中，D150，则1（）A30B25C20D15【答案】D【解答】四边形ABCD是菱形，D15
8、0，ABCD，BAD21，BAD+D180，BAD18015030，115二、填空题9.（2023年广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AHBC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .【答案】.【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果四边形ABCD是菱形，BO=DO=4，AO=CO，ACBD，BD=8.S菱形ABCD=ACBD=24，AC=6，OC=AC=3，BC=5，S菱形ABCD=BCAH=24，AH=.10（2023年内蒙古通辽）如图
9、，在边长为3的菱形ABCD中，A60，M是AD边上的一点，且AMAD，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC则AC长度的最小值是 【答案】1【解析】过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM，AMAD，ADCD3AM1，MD2CDAB，HDMA60HDMD1，HMHDCH4MC将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，AMAM1，点A在以M为圆心，AM为半径的圆上，当点A在线段MC上时，AC长度有最小值AC长度的最小值MCMA111（2023年湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都
10、是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为（0，1），（0，1），P是二次函数yx2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是 （填序号）【答案】【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确；平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误；由给出条件无法得到一组对边平行，错误；设点P（m，m2），则Q（m，1），MP，PQ+1，点P在第一象限，m0，MP+1，MPPQ，又MNPQ，四边形PMNQ是广义菱形正确；故答案为12.（2023年湖北十堰
11、）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE3，则菱形的周长为 【答案】24【解析】四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BODO，点E是BC的中点，OE是BCD的中位线，CD2OE236，菱形ABCD的周长462413.（2023年北京市） 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_【答案】12【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a，b （ab）；则由图2和图3列得方程组，由加减消元法得，菱形的面积.故填12.14（2023年辽宁抚顺）如图，菱形ABCD的边长为4cm，A
12、60，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为 cm2【答案】4【解析】连接BD，判断出ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ABD60，再求出CBD60，然后求出阴影部分的面积SABD，计算即可得解如图，连接BD，四边形ABCD是菱形，ABAD，A60，ABD是等边三角形，ABD60，又菱形的对边ADBC，ABC18060120，CBD1206060，S阴影S扇形BDC（S扇形ABDSABD），SABD，44cm2三、解答题15（2023年湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DEDF，求证：12【答案】见解析【解析】证明：四边形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），1216. （2023年海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q（1）求证：PDEQCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PBPQ时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知DECQ90，由E是CD的中点知DECE，结合DEP
