1、第7讲一元二次方程及其应用1定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2bxc0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项2解法(1)直接开平方法：方程符合x2m(m0)或(xm)2n(n0)的形式；(2)配方法：二次项系数化为1；移项；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；原方程写成a(xh)2k的形式；当k0时，直接开平方求解；(3)公式法：化为一般形式；确定a，b，c的值；求出b24ac的值；当b24ac0时，将a，b，c的值代入得x；(4)因式分解法：将方程右边化为0；将方程左边进行因式分解；令每个因式
2、为零，得两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，得原方程的两个根3一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，其根的判别式为b24ac(或记为“”) (1)b24ac0方程有两个不相等的实数根； (2)b24ac0方程有两个相等的实数根； (3)b24ac0方程没有实数根； (4)b24ac0方程有实数根4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别为x1，x2，则有x1x2，x1x25一元二次方程的实际应用常见类型及关系(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1m)nb；当m为平均下降率时，n为下
3、降次数，b为下降后的量，则有a(1m)nb.(2)几何图形问题：面积问题：S长方形ab(a，b分别表示长和宽)；S正方形a2(a表示边长)；S圆r2(r表示圆的半径)；体积问题：V长方体abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；V正方体a3(a表示边长)；V圆锥r2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；考点1：一元二次方程的解法【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式时，对于b24ac0的情况，她是这样做的：由于a0，方程ax2bxc0变形为：x2x，第一步x2x()2()2，第二步(x)2，第三步x(b24ac0)，第四步x.第五步(1)嘉淇的解法从第四步开始出
4、现错误；事实上，当b24ac0时，方程ax2bxc0(a0)的求根公式是x；(2)用配方法解方程：x22x240.解：x22x24，x22x1241，(x1)225，x15，x15，x14，x26.归纳：一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法(1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；(2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；(3)若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；(4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解考点2：一元二次方程的
5、实际应用【例题2】(2023年湖北宜昌10分)HW公司2023年年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块这些“QL”芯片解决了该公司2023年年生产的全部手机所需芯片的10%(1)求2023年年甲类芯片的产量；(2)HW公司计划2023年年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片从2023年年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2023年年、2023年年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，
6、丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2023年年到2023年年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块这样，2023年年的HW公司的手机产量比2023年年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2023年年的产量及m的值【考点】一元二次方程应用题【分析】(1)设2023年年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；(2)2023年年万块丙类芯片的产量为3x+4001600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y14400，解得：y3200，得出丙类芯片2023年年的产量为1600+232008000万块，2023年年HW公司手机产量为280010
7、%28000万部，由题意得出400(1+m%)2+2400(1+m%1)2+800028000(1+10%)，设m%t，化简得：3t2+2t560，解得：t4，或t（舍去），即可得出答案【解答】解：(1)设2023年年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+4002800，解得：x400，答：2023年年甲类芯片的产量为400万块；(2)2023年年万块丙类芯片的产量为3x+4001600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y14400，解得：y3200，丙类芯片2023年年的产量为1600+232008000万块，2023年年
8、HW公司手机产量为280010%28000万部，400(1+m%)2+2400(1+m%1)2+800028000(1+10%)，设m%t，化简得：3t2+2t560，解得：t4，或t（舍去），t4，m%4，m400；答：丙类芯片2023年年的产量为8000万块，m400归纳：利用一元二次方程解决实际应用问题的关键是根据题干寻找等量关系，从而建立方程；解方程时要注意检验方程的根是否符合实际意义考点3： 一元二次方程与其它问题的综合应用【例题3】（2023年重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设该县政府计划：2023年年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理
9、点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍（1）按计划，2023年年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2023年年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2023年年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2023年年
10、前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值【分析】（1）设2023年年前5个月要修建x个沼气池，则2023年年前5个月要修建（50x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；（2）根据单价=总价数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值【解答】（1）设2023年年前5个月要修建x个沼气池，则2023年年前5个月要修建（50x）个垃圾集中处理点，根据题意得：x4（50x），解得：x
11、40答：按计划，2023年年前5个月至少要修建40个沼气池（2）修建每个沼气池的平均费用为7840+（5040）2=1.3（万元），修建每个垃圾处理点的平均费用为1.32=2.6（万元）根据题意得：1.3（1+a%）40（1+5a%）+2.6（1+5a%）10（1+8a%）=78（1+10a%），设y=a%，整理得：50y25y=0，解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，a的值为10一、选择题：1. （2023年临沂）一元二次方程y2y=0配方后可化为（）A（y+）2=1B（y）2=1C（y+）2=D（y）2=【答案】B【解答】y2y=0y2y=y2y+=1（y）2=1故选：B2.
12、（2023年湖南怀化4分）一元二次方程x2+2x+10的解是（）Ax11，x21Bx1x21Cx1x21Dx11，x22【答案】C【解答】解：x2+2x+10，（x+1）20，则x+10，解得x1x21，故选：C3. （2023年河北省2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2则原方程的根的情况是（）A不存在实数根B有两个不相等的实数根C有一个根是x1D有两个相等的实数根【答案】A 【解答】解：小刚在解关于x的方程ax2+bx+c0（a0）时，只抄对了a1，b4，解出其中一个根是x1，（1）24+c0，
13、解得：c3，故原方程中c5，则b24ac1641540，则原方程的根的情况是不存在实数根4. 2023年山东省聊城市3分）若关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，则k的取值范围为（）Ak0B k0且k2CkDk且k2【答案】D【解答】解：（k2）x22kx+k60，关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，解得：k且k2故选：D5. （2023年嘉兴）欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB=90，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=则该方程的一个正根是（）AAC的长BAD的长CBC的长DCD的长【答案】B【解答】欧几里
14、得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB=90，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B二、填空题：6. （2023年年四川省南充市）若2n（n0）是关于x的方程x22mx+2n=0的根，则mn的值为【答案】【解答】解：2n（n0）是关于x的方程x22mx+2n=0的根，4n24mn+2n=0，4n4m+2=0，mn=故答案是：7. （2023年黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x210x+21=0的根，则三角形的周长为 【答案】16【解答】解：解方程x210x+21=0得x1=3、x2=7，3第三边的边长9，第三边的边长为7这个三角形的周长是3+6+7=16故答案为：168.（2023年年四川省内江
