1、能力升级练(九)空间几何体及三视图一、选择题1.(2023湖南长沙模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图)()解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.答案A2.(2023辽宁沈阳教学质量监测(一)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.43B.83C.163D.323解析由三视图可得该几何体为半圆锥,底面半圆的半径为2,高为2,则其体积V=1213222=43,故选A.答案A3.(2023陕西西安八校联考)某几何体的三视
2、图如图所示,则该几何体的体积是()A.43B.53C.2+23D.4+23解析由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1,高为2的半圆柱组合而成的组合体,故其体积V=2313+12122=53,故选B.答案B4.(2023吉林长春质量检测(一)已知矩形ABCD的顶点都在球心为O,半径为R的球面上,AB=6,BC=23,且四棱锥O-ABCD的体积为83,则R等于()A.4B.23C.479D.13解析如图,设矩形ABCD的中心为E,连接OE,EC,由球的性质可得OE平面ABCD,所以VO-ABCD=13OES矩形ABCD=13OE623=83,所以OE=2,在矩形ABCD中可得
3、EC=23,则R=OE2+EC2=4+12=4,故选A.答案A5.(2023江西南昌调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.23B.43C.2D.83解析由三视图可知,该几何体为三棱锥,将其放在棱长为2的正方体中,如图中三棱锥A-BCD所示,故该几何体的体积V=1312122=23.答案A6.(2023辽宁五校协作体联考)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图,则此三棱锥的体积是()A.8B.16C.24D.48解析由三视图还原三棱锥的直观图,如图中三棱锥P-ABC所示,且长方体的长、宽、高分
4、别为6,2,4,ABC是直角三角形,ABBC,AB=2,BC=6,三棱锥P-ABC的高为4,故其体积为1312624=8,故选A.答案A7.将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱的最大体积为()A.27B.827C.3D.29解析如图所示,设圆柱的半径为r,高为x,体积为V,由题意可得r1=2-x2,所以x=2-2r,所以圆柱的体积V=r2(2-2r)=2(r2-r3)(0r1),设V(r)=2(r2-r3)(0r0,得0h2,由V2,所以当h=2时,正四棱柱的体积最大,Vmax=8.答案213.(2023江西南昌调研)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球
5、面上,ABC满足AB=22,ACB=90,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为.解析取AB的中点O1,连接OO1,如图,在ABC中,AB=22,ACB=90,所以ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆,所以O1A=2,且OO1AO1,又球O的直径PA=4,所以OA=2,所以OO1=OA2-O1A2=2,且OO1底面ABC,所以点P到平面ABC的距离为2OO1=22.答案22三、解答题14.如图所示,正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别为4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.解设棱台两底面的中心分别为O和O,BC,BC的中点分别为E,E,连接OB,OE,OO,OE,OB
6、,EE,则四边形OEEO,OBBO均为直角梯形.在正方形ABCD中,BC=16cm,则OB=82cm,OE=8cm,在正方形ABCD中,BC=4cm,则OB=22cm,OE=2cm,在直角梯形OOBB中,BB=OO2+(OB-OB)2=19(cm);在直角梯形OOEE中,EE=OO2+(OE-OE)2=513(cm).所以这个棱台的侧棱长为19cm,斜高为513cm.15.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?解由PO1=2m,知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3),所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).故仓库的容积是312m3.10
