1、专题20 矩形 专题知识回顾 1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。3矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。4矩形的面积：S矩形=长宽=ab专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年广西桂林）将矩形按如图所示的方式折叠，为折痕，若顶点，都落在点处，且点，在同一条直线上，同时点，在另一条直线上，则的值为ABCD【答案】B【解析】由折叠可得，分别为，的中点，设，则，中，即，即，的值为【例题2】（2023年贵州省安顺市） 如
2、图，在RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DMAB于点M，作DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .BDMNCA【答案】【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MNAD，再由三角形的面积关系求出AD的最小值，即可得出结果连接AD，如图所示：BDMNCADMAB，DNAC，AMDAND90，又BAC90，四边形AMDN是矩形；MNAD，BAC90，AB3，AC4，BC5，当ADBC时，AD最短，此时ABC的面积BCADABAC，AD的最小值，线段MN的最小值为。 专题典型训练题 一、选择题1.（2023年广东广州）如
3、图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF5，则AC的长为（）A4B4C10D8【答案】A 【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5，得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可连接AE，如图：EF是AC的垂直平分线，OAOC，AECE，四边形ABCD是矩形，B90，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，AOFCOE（ASA），AFCE5，AECE5，BCBE+CE3+58，AB4，AC4；故选：A2.（2023年贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直
4、线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A360B540C630D720【答案】C【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是6303（2023年山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数
5、据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2
6、BP12PB的最小值是24.（2023年湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在MON的边OM，ON上，若OAOC，要求只用无刻度的直尺作MON的平分线小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线合一”小明的作法依据是（）ABCD【答案】C【解析】四边形ABCD为矩形，AECE，而OAOC，OE为AOC的平分线二、填空题5（2023年重庆）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是_（结果保留）【答案】【解析】6.（2023年
7、湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）【答案】ABC=90或 AC=BD【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：ABC=90或 AC=BD 故答案为：ABC=90或 AC=BD7.（2023年黑龙江省龙东地区）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPAB SPCD，则PCPD的最小值是_【答案】.【解析】结合已知条件，根据SPAB SPCD可判断出点P在平行于AB，与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.
8、过点P作直线lAB，作点D关于直线l的对称点D1，连接CD1，矩形ABCD中，AB4，BC6，CD=4,DD1=8,在RtCDD1中，由勾股定理得CD1=，PCPD的最小值是. 8（2023年内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】【解答】四边形ABCD是矩形AOCOBODO，AE平分BAOBAEEAO，且AEAE，AEBAEO，ABEAOE（ASA）AOAB，且AOOBAOABBODO，BD2AB，AD2+AB2BD2，64+AB24AB2，AB9.（2023年湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片A
9、BCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM下列结论：CQCD；四边形CMPN是菱形；P，A重合时，MN2；PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）【答案】【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CNNP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；假设CQCD，得RtCMQCMD，进而得DCMQCMBCP30，这个不一定成立，判断错误；点P与点A重合时，设BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解
10、得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可如图1，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN，NCNP，PMCN，MPCN，四边形CNPM是平行四边形，CNNP，四边形CNPM是菱形，故正确；CPMN，BCPMCP，MQCD90，CPCP，若CQCD，则RtCMQCMD，DCMQCMBCP30，这个不一定成立，故错误；点P与点A重合时，如图2，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC，MN2QN
11、2故正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S，4S5，故错误故答案为：10.（2023年贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 【答案】【解析】E的运动路径是EE的长；AB4，DCA30，BC，当F与A点重合时，在RtADE中，AD，DAE30，ADE60，DE，CDE30，当F与C重合时，EDC60，EDE9
12、0，DEE30，在RtDEE中，EE.11（2023年山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD2将A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为DE若将B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB【答案】【解析】利用矩形的性质，证明ADEADEADC30，CABD90，推出DBADCA，CDBD，设ABDCx，在RtADE中，通过勾股定理可求出AB的长度四边形ABCD为矩形，ADCCB90，ABDC，由翻折知，AEDAED，ABEABE，ABEBABD90，AEDAED，AEBAEB，BEBE，AEDAEDAEB18060，ADE90AED30，ADE90AEB30，ADEADEADC30，又CABD90，DADA，DBADCA（AAS），DCDB，在RtAED中，ADE30，AD2，AE，设ABDCx，则BEBExAE2+AD2DE2，（）2+22（x+x）2，解得，x1（负值舍去），x212.（2023年北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；
