1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）ABCD2正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）ABCD3在满足，的
2、实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )A5B6C7D94二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A180B90C45D3605等比数列的各项均为正数，且，则( )A12B10C8D6已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )ABCD7已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )ABCD8若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为( )A8B4CD69设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD10已知函数与的图象有一个横坐标
3、为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( )ABCD11在中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13平面向量，（R），且与的夹角等于与的夹角，则 .14若，则=_， = _.15已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_.16已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为_.三、
4、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.19（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.20（12分）设（1）证明:当时，；（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）21（12分）已知函数，.（1）若曲线在点处的切线方程为，
5、求，；（2）当时，求实数的取值范围.22（10分）在中，角的对边分别为，且，（1）求的值；（2）若求的面积2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解.【题目详解】由题意知，函数的最小正周期为,即,由函数的图象平移变换公式可得，将函数的图象向右平移个周期后的解析式为，因为函数的图象关于轴对称，所以，即，所以当时，有最小正值为.故选：D【答案点睛】本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数
6、诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.2、C【答案解析】如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.【题目详解】如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，故，设球半径为，则，解得，故.故选：.【答案点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.3、A【答案解析】由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，从而得出的最大值.【题目详解】因为，则，即整理得，令，设，则，令,则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，则
7、，因为，由题可知：时，则，所以，所以，当无限接近时，满足条件，所以，所以要使得故当时，可有，故，即，所以：最大值为5.故选：A.【答案点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.4、A【答案解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.5、B【答案解析】由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论【题目详解】数列是等比数列，故选：B.【答案点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键6、C【答案解析】根据三角函数的定义，即可求出
8、，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【题目详解】根据题意，解得，所以，所以，所以.故选：C.【答案点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.7、D【答案解析】根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【题目详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【答案点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.8、A【答案解析】作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.
9、再由基本不等式可求的最小值.【题目详解】作出可行域，如图所示由，可得.平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.解方程组，得.，当且仅当，即时，等号成立.的最小值为8.故选：.【答案点睛】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.9、D【答案解析】利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【题目详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【答案点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.10、A【答案解析】根据题意，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的
10、取值范围.【题目详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍， 则，所以当时，在有且仅有5个零点， ，.故选：A.【答案点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.11、D【答案解析】通过列举法可求解，如两角分别为时【题目详解】当时，但，故充分条件推不出；当时，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【答案点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题12、C【答案解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出
11、结果.【题目详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【答案点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【答案解析】试题分析：，与的夹角等于与的夹角，所以考点：向量的坐标运算与向量夹角14、128 21 【答案解析】令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.【题目详解】令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.【答案点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求
12、解二项式系数有关问题，属于基础题.15、2889【答案解析】先计算集合中最小的数为，最大的数，可得，求和即得解.【题目详解】当时，集合中最小数；当时，得到集合中最大的数； 故答案为：2889【答案点睛】本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16、【答案解析】由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【题目详解】是抛物线准线上的一点 抛物线方程为 ，准线方程为过作准线的垂
13、线，垂足为，则 设直线的倾斜角为，则当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切设直线的方程为，代入得：，解得： 或双曲线的实轴长为，焦距为双曲线的离心率故答案为：【答案点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【答案解析】（1）由题意，先求得为的中点，再证明平面平面，进而可得结论；（2）由题意，当点位于点时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可
14、.【题目详解】（1）证明：当四面体的外接球的表面积为时.则其外接球的半径为.因为时边长为2的菱形，是矩形.，且平面平面.则，.则为四面体外接球的直径.所以，即.由题意，所以.因为，所以为的中点.记的中点为，连接，.则，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）由题意，平面，则三棱锥的高不变.当四面体的体积最大时，的面积最大.所以当点位于点时，四面体的体积最大.以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.所以，.设平面的法向量为.则令，得.设平面的一个法向量为.则令，得.设平面与平面所成锐二面角是，则.所以当四面体的体积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【答案点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面
