1、专题24.3正多边形和圆（讲练）一、 知识点1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(AOB)、半径(R)、边心距(r),如图所示. （2）特殊正多边形中各中心角、长度比： 中心角=120 中心角=90 中心角=60，BOC为等边a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:2 a:r:R=2:2二、标准例题：例1：如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接BD则CBD的度数是（ ）A30B45C60D90【答案】A【解析】在正六边形ABCDEF中，BCD120，BCCD，CBD（180120）30，故选：A总结：本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角
2、和，熟记多边形的内角和是解题的关键例2：如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）ABCD【答案】C【解析】连接AC，设正方形的边长为a，四边形ABCD是正方形，B=90，AC为圆的直径，AC=AB=a，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，故选C.总结：本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键例3：如图，正六边形ABCDEF内接于O，BE是O的直径，连接BF，延长BA，过F作FGBA，垂足为G.(1)求证：FG是O的切线；(2
3、)已知FG2，求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为.【解析】(1)证明：连接OF，AO，ABAFEF，ABFAFBEBF30，OBOF，OBFBFO30，ABFOFB，ABOF，FGBA，OFFG，FG是O的切线；(2)解：，AOF60，OAOF，AOF是等边三角形，AFO60，AFG30，FG2，AF4，AO4，AFBE，SABFSAOF，图中阴影部分的面积.总结：此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角三、练习1如图，正六边形的边长为2，分别以点为圆心，以为半径作扇形，扇形则图中阴影部分的面积是（）ABCD【答案】B【解
4、析】解：正六边形的边长为2，正六边形的面积是：，图中阴影部分的面积是：，故选：B2有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则的值是（）ABCD【答案】B【解析】解：正五边形的内角的度数是正方形的内角是90，则1=108-90=18故选：B3如图，已知正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点逆时针旋转，使点落在上.若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：设圆心为O，连接AO，BO， OF，AB=6，AO=BO=6，AB=AO=BO，三角形AOB是等边三角形，OAB=60AF=AO=FO=6，FAO是等边三角形，OAF=60FAB=OAB+OAF
5、 =120，EAC=120-90=30，AD=AB=AF=6，点D运动的路径长为：=故选：C4如图，在正五边形中，的延长线交于点，则等于（ ）.ABCD【答案】C【解析】五边形ABCDE是正五边形，AED=EDC=108，FED=FDE=72，由三角形的内角和定理得：F=1807272=36故选C5如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）ABCD【答案】C【解析】五边形为正五边形故选：C6如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）ABCD【答案】A【解析】解：6个月牙形的面积之和，故选：A7阅读理
6、如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由MOx的度数与OM的长度m确定,有序数对(,m)称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为_.【答案】(60,4).【解析】如图，设正六边形的中心为D，连接AD，ADO=3606=60，OD=AD，AOD是等边三角形，OD=OA=2,AOD=60，OC=2OD=22=4，正六边形的顶点C的极坐标应记为(60,4).故答案为(60,4).8如图，、为一个外角为的正多边形的顶点若为
7、正多边形的中心，则_【答案】30【解析】多边形的每个外角相等，且其和为，据此可得多边形的边数为：，AOD=3=120，OA=OD，OAD=ODA=30，故答案为：30.9若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_. 【答案】6.【解析】正六边形的中心角为=60，AOB是等边三角形，OB=AB=3，BE=2OB=6，即正六边形最长的对角线为6，故答案为：6.10如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为_【答案】【解析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为： 则
8、勒洛三角形的周长为：故答案为：11如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC、AE，则AEAC_【答案】2【解析】解：连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故AEAC=2故答案是：212如图，O的半径为1cm，正六边形内接于O，则图中阴影部分面积为_【答案】【解析】解：如图，连接BO，CO，OA由题意得，OBC，AOB都是等边三角形，AOBOBC60，OABC，OBC的面积ABC的面积，图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积故答案为：13如图，将边长为2m的正六边形铁丝框ABCDEF変形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）则所得扇形AFB（阴影部分）的面积_【答案】8
9、m2【解析】正六边形ABCDEF的边长为2m， ，的长（m），扇形AFB（阴影部分）的面积（m2）故答案为：8m214如图，正六边形内接于O，O的半径为4，则圆中阴影部分的面积为_【答案】【解析】已知圆的半径为4，则面积为16，空白正六边形为六个边长为4的正三角形，每个三角形面积为4，则正六边形面积为24，所以阴影面积为故答案为：15试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方形的对角线相等，正五边形的。对角线也相等；不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。相同点：_；_不同点：_；_. 【答案】详见解析.【解析】相同点：都有相等的边；都有相等的内角；都有外接圆和内切圆；都是轴对称图形；对称轴都交于一点（写出两条即可）不同点：边数不同：内角的度数不同；内角和不同；对角线的条数不同；对称轴的条数不同（写出两条即可）12
