1、 星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级初三学科数学授课教师上课时间15年1月7日第（ ）次课共（ ）次课课时：2课时教学课题整式和分式方程教学目标会求解一元二次方程会将分式方程转化为整式方程求解教学重点与难点重点：分式方程及一元二次方程的应用题难点：分式方程的检验及一元二次方程的根的个数教学过程 第二章 一元二次方程一、知识清单（一）一元二次方程的概念1、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax+bx+c=0（a0），其中，ax是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。注意：a0是一个重要条件，否则就不能保证
2、该方程未知数的最高次数是二次。2、一元二次方程满足的条件一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。（二）一元二次方程的方程形式1、一般式一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要确定二次项系数、一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。2、变形式 （a、b是实数，a0） （a、c是实数，a0） （a是实数，
3、a0）3、配方式4、两根式（三）一元二次方程的方程解1、一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。注意：一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。2、一元二次方程的解（根）的判别式：利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况。一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。上述结论反过来也成立。3、一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程
4、的方法叫做求根公式法。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出判别式的值，判断根的情况；在的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。（三）温馨提示根与系数的关系一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：，（也称韦达定理，初中不要求掌握，可作为解题技巧使用）。由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：ax2-(p+q)x+pq=0（其中）。二、典例归纳 考点一：一元二次方程的判别【例1】判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.是一元二次方程的有 【例2】方程（1）m为何值时，此方程为一元二次方程？（
5、2）m为何值时，此方程为一元一次方程？【例3】若方程是关于x的一元二次方程，求k的值.【例4】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）【变式1】关于x的方程经化简整理，化为的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.mn，p，qB. mn，p，q C.mn，p，qD.mn，p，q
6、【变式2】将一元二次方程的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. B. C D【变式3】若关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值.【变式4】某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.【变式5】教材或资料会出现这样的题目：把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答（1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？ x2-x-
7、2=0；-x2+x+2=0；x2-2x=4；-x2+2x+4=0；x2-2x-4=0（2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？方法总结：1、一元二次方程的一般形式：2、在一般式中，当b0时，则有这两种情况都是一元二次方程.考点二：分解因式中的先化简再求值【例1】先化简，再求值：（m+2-）其中m是方程x2+3x-1=0的根 【例2】先化简，再求值：（x-1）（-1），其中x为方程x2+3x+2=0的根【例3】先化简，再求值：(x+1)，其中x满足方程：x2+x-6=0 【变式1】解方程：=x2-x+1【变式2】先化简，再求值：(m+)
8、，其中m是方程2x2+4x-1=0的根 【变式3】已知a是关于x的方程x2-4=0的解，求代数式（a+1）2+a（a-1）-a-7的值 方法总结：1、因式分解化简，先通分，再合并同类项；2、熟练运用求根公式解出一元二次方程的根；3、将根带入化简后的因式，得到结果.考点三：已知方程的解，求方程的表达式【例1】已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A-3 B 3 C0 D0或3【例2】观察下列方程，并回答问题：x2-1=0；x2+x-2=0；x2+2x-3=0；x2+3x-4=0；（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根；（3）说出
9、这列方程的根的一个共同特点【例3】一元二次方程x22x0的某个根，也是一元二次方程x2(k+2)x+0的根，求k的值【例4】已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m求m，n的值【变式1】已知x=1是一元二次方程3x2-6x+m=0的一个解，求m的值【变式2】已知关于x的方程5x2-kx-10=0的一个根为-5，求它的另一个根及k的值【变式3】已知关于x的方程x2+bx+a=0，有一个根是-a（a0），求a-b的值【变式4】若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况方法总结：1、已知方程解，将解带入方程，能得到系数含未知数的新方
10、程2、解新方程，再将解带回原方程，即可解出原方程的表达式考点四：列方程解应用题【例1】某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A50（1+x2）=196 B50+50（1+x2）=196C50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D50+50（1+x）+50（1+2x）=196【例2】某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A48（1-x）2=36 B48（1+x）2=36C36（1-x）2=48 D36（1+x）2=48【例3】目前我国建立了比较完善的
11、经济困难学生资助体系某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A438（1+x）2=389 B389（1+x）2=438C389（1+2x）2=438 D438（1+2x）2=389【例4】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A10080-100x-80x=7644 B（100-x）（80-x）+x2=7644C（100-x）（80-x）=7644 D1
12、00x+80x=356【变式1】已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： 【变式2】如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 【变式3】某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 【变式4】如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长方法总结：1、面积题型，将未知边设为x，一般取较短的一边；2、矩形面积公式：面积=长宽；3、两次降价，就把降价率设为x分式知识点1、分式及其相关概念分式：设A、B表示两个整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。如果分子分母有公因式，要进行约分化简例1下列各式中不是分式的是（ ）ABCD例2分式有意义，则应满足条件（）ABC且D或例3与是同一个分式吗？变式训练：1下列判断错误的是（
