1、专题01 有理数【思维导图】 【知识要点】知识点一 有理数基础概念n 有理数（概念理解）正数：大于0的数叫做正数。负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。有理数的分类（两种）（见思维导图）n 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【注意】1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。n 相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等
2、，符号不同的两个数叫做互为相反数）n 绝对值绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）n 比较大小1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。3）两个负数比较，绝对值大的反而小。4）两个正数比较，绝对值大的反而大。常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。1（2023年海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是 ( )A|+2|与|-2|B-|+2|与+(-2)C-(-2)与+(+2)
3、D|-(-3) |与-|-3|【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确故选：D2（2023年四川中考真题）一定是A正数B负数CD以上选项都不正确【详解】a可正、可负、也可能是0选D.3（2023年内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（）A点A和点CB点B和点CC点A和点BD点B和点D【详解】A、B、C、D所表示的数分别
4、是2，1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A4（2013江苏中考真题）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）AabB|a|b|CabDa+b0【详解】根据数轴，a0，b0，且|a|b|，A、应为ab，故本选项错误；B、应为|a|b|，故本选项错误；C、a0，b0，且|a|b|，a+b0，ab正确，故本选项正确；D、应该是a+b0，故本选项错误故选C5（2023年甘肃中考真题）已知，是2的相反数，则的值为()A-3B-1C-1或-3D1或-3【详解】，是2的相反数，或，当时，；当时，；综上，的值为-1或-3，故选：C考察题型一 绝对值非负性应用1（2016山东
5、中考真题）当1a2时，代数式|a2|1a|的值是（）A1B1C3D3【详解】解：当1a2时，|a2|+|1a|=2a+a1=1故选B2（2023年山东中考模拟）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( ) A2abBbCbD2a+b【详解】根据数轴可以判断出，则，所以所以选C.3（2017广西中考模拟）若，那么的值是 （ ）A2或12B2或-12C-2或12D-2或-12【详解】由可得x=7，由可得y=5，由可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，则，故选：A4（2023年浙江中考模拟）如果|a|0，那么（）Aa0Ba0Ca0Da为任意数【详解】解： a为任意数，故选：
6、D5（2017湖北中考模拟）若|x2|+|y+2|=0，求xy的相反数【详解】|x2|+|y+2|=0，x2=0，y+2=0，解得x=2，y=2，xy=2（2）=4，xy的相反数是46.（2017广东中考模拟）已知|a+3|+|b5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值【详解】（1）由题意得，a+3=0，b5=0，解得a=3，b=5，所以，a+b=3+5=2；（2）|a|+|b|=|3|+|5|=3+5=8考查题型二 有理数比较大小1（2023年山东中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|b|c|则下列说法中可能成立的是（）Ab为正数，c为负数Bc为正数，b为负数Cc为正数，a为
7、负数Dc为负数，a为负数【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，如果假设两负一正情况合理，要使a+b+c=0成立，则必是b0、c0、a0，否则a+b+c0，但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，若a，b为正数，c为负数时，则：|a|+|b|c|，a+b+c0，A被否定，若a，c为正数，b为负数时，则：|a|+|c|b|，a+b+c0，B被否定，只有C符合题意故选：C2（2023年北京中考模拟）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b0，那么下列结论正确的是（）A|a|c|Ba+c0Cabc0D【详解】a+b
8、=0，原点在a，b的中间，如图，由图可得：|a|c|，a+c0，abc0，=-1，故选C.12（2023年山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是()b0a； |b|a|； ab0； aba+bABCD【解析】由图知，b0|a|,故错误，因为b0a，所以aba+b，所以正确.故选：B.4（2023年湖北中考真题）在0，1，0.5，（1）2四个数中，最小的数是（）A0 B1 C0.5 D（1）2【详解】根据有理数比较大小的方法，可得100.5（1）2，在0，1，0.5，（1）2四个数中，最小的数是1故选B5（2023年山东中考真题）实数a，b，
9、c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A|a|b|B|ac|=acCbdDc+d0【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：ab0，dc1；A、|a|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、bd，故选项正确；D、dc1，则a+d0，故选项正确故选：B.知识点二 有理数四则运算n 有理数的加法（重点）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数
10、互为相反数）4.一个数同0相加，仍得这个数。有理数的加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即。n 有理数的减法有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即。注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。n 有理数的加减混合运算规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：（1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分
11、的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；（4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。n 有理数的乘法（重点）有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0.倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）多个有理数相乘的法则及规律：（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.注：带分数与分数相乘时，通常把带分
12、数化成假分数，再与分数相乘。n 有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。n 有理数的除法有理数除法法则：（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0。步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。n 有理数的乘除混合运算运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算
13、）n 有理数的四则混合运算运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律1（2023年江苏中考模拟）计算：|5+3|的结果是（ ）A8 B8 C2 D2【解析】原式=|-2|=2，故选：D2.（2023年浙江中考真题）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（ ）星期一二三四最高气温1012119最低气温30-2-3A星期一B星期二C星期三D星期四【详解】星期一温差：1037；星期二温差：12012；星期三温差：11（2）13；星期四温差：9（3）12；综上，周三的温差最大.故选C3（2023年四川中考模拟）如果a，b是有理数，那么下列各式中成立的是（ ）A如果a0，b0 B如果a0，b0C如果a0，b0，那么ab0，b|b|，那么ab0【解析
