1、山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；国家自然科学青年基金资助项目（）第一作者简介：张晓磊（），男，讲师，博士，研究方向为交换代数与同调代数：文章编号：（）：环张晓磊，齐薇，夏伟恒（山东理工大学数学与统计学院，山东 淄博；四川师范大学数学科学学院，四川 成都）摘要：通过局部化角度刻画了 环。其次，引入并研究了 平坦模并证明环 是 环当且仅当任意（主）理想是平坦模。最后，从环的有限直积和合并代数角度研究了 环。此外，给出一些例子区分 环和 环。关键词：环；平坦模；环；合并代
2、数中图分类号：文献标志码：引用格式：张晓磊，齐薇，夏伟恒 环 山东大学学报（理学版），（）：，（，；，）：，（），：；引言 在本文中，所有的环都是有单位元的交换环，所有的模都是酉模。平坦模类是同调代数中经典的三大模类之一。众所周知，任意（有限生成）理想都是平坦模的环恰好是弱总体维数至多为 的环，因此，任意主理想都是平坦模的环引起了许多代数学家的关注。早在 年，在著作交换凝聚环中就深入研究了此类交换环。事实上，证明了该类环等价于在所有极大（素）理想处局部化都是整环的环，也等价于任意极大理想都包含唯一极小素理想的约化环。由此，弱总体维数有限的凝聚环和总体维数至多为 的交换环都满足此条件。为了更好地
3、研究此类环，于 年在文献中将任意主理想都是平坦模的环简称为 环。年，和 引入了 平坦模，并证明了环 是 环当且仅当任意（主）理想是 平坦模，最后给出了环直积构造和合并代数的 性质。星型算子和半星型算子在推广各种经典交换环上起着非常重要的作用。王芳贵等在 年引进了整环上的 算子，并由尹华玉等在 年将其推广到一般交换环上。自此之后，利用交换环上的 算子构造新的环类成为研究交换环论的一种新方法。年，王芳贵和 引入并研究了交换环上的平坦模。年，王芳贵和乔磊引入了 弱总体维数，并证明了 恰好是 弱总体维数至多为 的整环。最近，夏伟恒等将任意主理想都是 平坦模的交换环定义为 环，并且利用局部化方法 山 东
4、 大 学 学 报（理 学 版）第 卷和 平坦模刻画了 环。半正则理想在刻画交换环的小有限维数方面起着关键的作用。王芳贵等证明了环 的小有限维数为 当且仅当 的半正则理想只有 本身，从而给出例子解决了 等提出的公开问题。为了进一步发展相关理论，周德川等于 年利用有限生成半正则理想引入了交换环上新的一类半星型算子：算子。最近，本文第一作者利用 算子引入并研究了 平坦模类和 正则环。本文主要研究了任意主理想都是 平坦模的环：环。本文首先从局部化角度刻画了 环（见定理）；其次，引入并研究了 平坦模，并证明环 是 环当且仅当任意（主）理想是 平坦模（见定理）；最后，我们从环的有限直积和合并代数角度研究了
5、 环（见命题 和定理）。此外，我们给出一些例子区分 环和 环（见例 和例）。环及其基本性质我们首先回顾 算子相关知识（详情内容请参见文献）。我们称 理想 是稠密理想指的是（：）：；半正则理想指的是 中包含有限生成稠密子理想。所有有限生成半正则理想构成的集合记为。设 是 模，记（）：存在 满足。回顾文献，模 被称为 挠的（无挠的）若（）（）。设 是 无挠模。被称为 模，若对任意 都有（，）。无挠模 的 包络定义如下：（）存在 满足，其中（）是 的内射包。根据文献中定理，（）存在 满足。显然，无挠模 是 模当且仅当。若任意 模都是 模，则称环 是 环。根据文献，环恰好是小有限维数为 的交换环。回顾
6、文献，无挠模 的子模 被称为 子模，若。若 理想 是 的 子模，则称 是 的 理想。极大 理想是 的 子模中极大者。所有极大 理想构成的集合记为（）。根据文献命题 和命题 可得，（）恰好是 的所有极大非半正则理想构成的集合，从而（）非空，且是（）的子集。称 同态：为 单同态（分别地，满同态、同构），指的是对任意（）都有：是 单同态（分别地，满同态、同构）。若对任意（）都有 作为 模正合，则称 模序列 为正合的。回顾文献，设 是 模，若对任意 单同态：，自然同态：都是 单同态，则称 为 平坦模。根据文献，模 是 平坦模当且仅当对任意 模 都有（，）是 挠模，当且仅当对（任意、任意有限生成、任意
7、有限生成）理想，都有（，）是 挠模，当且仅当对任意（），都有 是平坦 模，当且仅当（）是平坦（）模。根据文献，若环 的任意主理想都是平坦模，则称环 为 环。最近，夏伟恒等将任意主理想都是 平坦模定义为 环。类似地，利用 平坦模，我们可以引入 环。定义 若环 中任意主理想都是 平坦模，则称环 是 环。回顾文献，若任意 模都是 平坦模，则称环 为 正则环。根据文献定理，环 是 正则环当且仅当 是约化环且极小素谱（）是紧空间。显然，正则环都是 环。更进一步，我们有如下结果。定理 设 是环，则下面各条等价：（）是 环；（）对任意非半正则素理想，都有 是整环；（）对任意（），都有 是整环；（）是约化环，
8、且对任意（）都包含唯一的极小素理想。在这种情况下，第 期张晓磊，等：环 存在 使得 且 是 的商域。证明（）（）。设 是 的非半正则素理想，设 是 的主理想，其中 是 的主理想，则 是 平坦 模，故 是平坦 模，从而是自由 模，因此，是整环。（）（）。显然成立。（）（）。因为对任意（）都有（）（），所以（）是 挠模。因为（）是 的理想，所以（）也是 无挠的，故（），从而 是约化环。设（），我们定义 存在 使得。设 是包含于 的素理想，我们断言。事实上，设，则存在 满足 ，所以，矛盾。考虑自然单同态 ，则 是 的素理想。根据 的定义，我们容易验证，故 是域。设是 中的零元素，则存在 使得，所以，
9、因此，故（）（）是 的商域。（）（）。因为 ，所以对任意（）都有 是整环。设，所以（：）正合，且对任意（）都有 或为，因此，根据文献定理 有 是 平坦模。显然，环都是 环，然而，并不是每个 环都是 环。例 设，其中 是域，则 是局部环但不是整环，所以 不是 环（由于 还是环，因此 也不是 环）。注意到 恰好有 个非半正则素理想：和：，其中，分别为，在 中的像。注意到，和，都是整环，所以根据定理 可得 是 环。环的理想理论刻画回顾文献，称 模 为 平坦模指的是对任意满足 的（，），都有（：）。设，则根据文献命题，我们有（，）（：），从而，模 为 平坦模当且仅当对任意 都有（，）。根据文献 定理，
10、环 是 环当且仅当任意理想是 平坦的，当且仅当任意主理想是 平坦的。为了给出相应 环的等价刻画，我们将在本节中引入并研究 平坦模。定义 设 是环，模 被称为 平坦模，若对任意 都有（，）是 挠模。显然，挠模和 平坦模都是 平坦模。下面我们给出 平坦模的等价刻画。定理 设 是 模，则下列各条等价：（）是 平坦模；（）对任意非半正则素理想，都有 是 平坦 模；（）对任意（），都有 是 平坦 模；（）对任意，自然同态 是 单同态；（）对任意（，）满足，存在理想 使得（：）。证明（）（）。设 是非半正则素理想，设 是 主理想，其中 是 主理想，由于 是 平坦模，（，）是 挠模，因此（，）（，），故 是
11、 平坦模。（）（）。显然成立。（）（）。设 和（），则有正合列 山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷（），）（，）（）（），故自然同态 是 单同态。（）（）。设 和（），则有正合列（，）（）（）。由于（）（）是单同态，因此（，），从而（，）是 挠模，即，是平坦模。（）（）。根据如下同构可得（，）（：）。命题 设 是环，则 是 环当且仅当任意 平坦 模是 平坦的。证明 若 是 环，则显然任意 平坦 模是 平坦的。反之，设，是 的有限生成半正则理想，则 是 挠模，从而也是 平坦的，故是 平坦模。从而，对任意，我们有（，）（见文献练习），即，（，），进而我们有，即，是有限生成幂等理想。根据文献
12、，命题 可得，存在幂等元 满足。因为 是半正则理想，所以（：），从而，及，即，是 环。回顾文献定义，设 是 的有限生成理想，若自然同态：（，）是同构，则称 为 理想，简称为 理想，并且记（）。显然 理想都是有限生成半正则理想。我们称环 为 环，指的是有限生成半正则理想都是 理想（见文献）。根据文献，称 模 是 平坦，指的是对任意（，）满足，存在理想（）使得（：），从而，平坦模都是 平坦。命题 设 是环，则 是 环当且仅当任意 平坦 模是 平坦的。证明 若 是 环，则显然任意 平坦 模是 平坦的。反之，设，是 的有限生成半正则理想，则 是 挠模，从而也是 平坦的，故是 平坦模。从而，对任意，我们
13、有（，）是 挠模，从而存在 理想 满足。下面证明 也是 理想。事实上，设 是由，生成，对任意，存在 满足 。记列向量，其中，第 个坐标是。记矩阵，其中 是 符号，则有，因此（）。因为 是半正则理想，我们有（），所以存在 满足，因此，。容易验证，。因为 是 理想，所以 也是 理想。根据文献定理 和文献定理，环 是 正则环当且仅当任意 模都是 平坦模，当且仅当任意 模都是 平坦模。命题 设 是环，则 是 正则环当且仅当任意 模都是 平坦的。证明 若 是 正则环，则任意 模都是 平坦模，从而是 平坦模。反之，设，则 是 平坦的，故（，）是 挠模。从而存在有限生成半正则理想 满足，故。设（），则，故
14、是 正则环，从而 是 正则环（见文献定理）。引理 设 是环，是循环 平坦 模，则 是 平坦 模。证明 设（）和，从而 是循环 平坦 模。根据文献，是平坦 模，从而，是 平坦 模。根据文献定理，环 是 环当且仅当任意理想是 平坦的，当且仅当任意主理想是 平坦的，当且仅当对任意满足 的元素（，），存在（：）使得。下面我们给出 环的等价刻画。定理 设 是环，则下列各条等价：（）是 环；（）任意理想是 平坦的；第 期张晓磊，等：环 （）任意主理想是 平坦的；（）对任意满足 的（，），都存在 使得对任意 都存在（：）满足。证明（）（）和（）（）显然成立。（）（）。根据引理 可得。（）（）。设（，）是 中
15、满足 的元素，因为 是 平坦理想，所以存在理想 使得（：）（见定理），从而存在 使得对任意 都存在（：）满足。（）（）。设 是 理想，设（，）满足，则存在 使得对任意 都存在（：）满足，即，存在 使得（：）。根据定理 可得 是是 平坦理想。环的环构造本节我们将研究环的有限直积和环沿着理想的合并代数的 性质。命题 设，是环的有限集合，则 是 环当且仅当对任意，都是 环。证明 设对任意，都是 环。令 ，设（，），其中（），（），满足，则对任意，都有，故存在 使得对任意，都存在，（：）满足，。令 ，则 显然是有限生成半正则 理想。不妨设（，），令（，），则（：）且满足，从而 是 环。反之类似可证。设
16、 是环，是 理想。回顾文献，环 沿着理想 的合并代数定义为 （，），。注意到，是 的子环，并且 是 的 模直和加项。为了研究 的 性质，我们首先给出如下结论。引理 设：是环同态，且 是 作为 模的直和加项。若 是 环，则 也是 环。证明 设：是满足 的环同态。设（，）满足，则（）（）（），故存在有限生成半正则 理想 使得对任意 都存在（：（）满足（）（）。令（），则容易验证 是有限生成半正则 理想。从而对任意（）都存在（）（：）满足（）（），故 是 环。定理 设 是环，是 理想，则下列各条等价：（）是 环；（）是 环且对任意包含 的非半正则素理想 都有，；（）是 环且对任意包含 的（）都有，。证明（）（）。设 是 环，因为 是 的 模直和加项，所以由引理 可得 是 环。下面证明对任意包含 的非半正则素理想 都有，。反之，假设存在包含 的非半正则素理想 使得，。令（，），则 是满足 的 的素理想，我们断言 是 的非半正则素理想。事实上，若 是半正则理想，则存在有限生成稠密子理想。容易验证存在 满足（，）也是 的有限生成稠密子理想，与 的非半正则性相矛盾。因为 是整环，所以（）是约化环且
