1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）ABCD2若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（ ）ABCD13复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )A3BCD4某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，
2、俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）ABCD5过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ）ABCD6已知函数若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）ABCD7已知集合，则中元素的个数为( )A3B2C1D08是恒成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，分组，绘成频率分布直方图如下：
3、嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ）ABCD10已知集合A=x|x1，B=x|，则ABCD11函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A函数的最小正周期是B函数的图象关于点成中心对称C函数在单调递增D函数的图象向右平移后关于原点成中心对称12小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在正奇数非减数列中，每个正奇数出现次.已知存在整数、
4、，对所有的整数满足，其中表示不超过的最大整数.则等于_.14如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高_15已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为_16一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，则该四面体的外接球的体积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（），且只有一个零点.（1）求实数a的值；（2）若，且，证明：.18（12分）如图，已知椭圆经过点，且离心率，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭
5、圆的右顶点为，线段的中点为，记直线的斜率分别为，求证：为定值.19（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y290相切（1）求圆的方程；（2）设直线axy+50（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由20（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2023年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低
6、于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）21（12分）等差数列的前项和为，已知，.（）求数列的通项公式及前项和为；（）设为数列的前项的和，求证：.22（10分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.(
7、1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】设直线为，用表示出，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值【题目详解】解：设直线为，则，而满足，那么设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，所以故选：【答案点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题2、B【答案解析】由，进而分
8、别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.【题目详解】由，则展开式中的系数为，展开式中的系数为，二者的系数之和为，得.故选：B.【答案点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3、B【答案解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【题目详解】由已知，所以，解得.故选：B【答案点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4、A【答案解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为 故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体
9、首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5、C【答案解析】作，；，由题意，由二倍角公式即得解.【题目详解】由题意，准线：，作，；，设，故，.故选：C【答案点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、D【答
10、案解析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【题目详解】，令，得，其单调性及极值情况如下：x0+0_0+极大值极小值若存在，使得，则（如图1）或（如图2）（图1）（图2）于是可得，故选：D.【答案点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.7、C【答案解析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【题目详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得
11、，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一的解.故.故选：C.【答案点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.8、A【答案解析】设 成立；反之，满足 ，但，故选A.9、C【答案解析】计算出、，进而可得出结论.【题目详解】由表格中的数据可知，由频率分布直方图可知，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【答案点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.10、A【答案解析】集合集合，故选A11、B【答案解析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案【题目详解】根据给定函数的图象，可
12、得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期， 不妨令，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，当时，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称故选B【答案点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题12、A【答案解析】利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【题目详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，
13、小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【答案点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【答案解析】将已知数列分组为（1），共个组.设在第组，则有，即.注意到，解得.所以，.因此，.故.14、1【答案解析】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，故答案为1考点：正弦定理的应用15、【答案解析】设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得16、【答案解析】将四面体补充为长宽高分别为的长方体，体对角线即
14、为外接球的直径，从而得解.【题目详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线，所以球半径为，体积为.【答案点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【答案解析】(1)求导可得在上,在上,所以函数在时,取最小值,由函数只有一个零点,观察可知则有,即可求得结果.(2)由(1)可知为最小值,则构造函数（）,求导借助基本不等式可判断为减函数,即可得,即则有,由已知可得，由,可知
