1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并
2、交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为ABCD2已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCD3已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件4正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD5已知各项都为正的等差数列中，若，成等比数列，则（ ）ABCD6若，则下列不等式不能成立的是（ ）ABCD7中国古代中的“礼、乐、
3、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.A408B120C156D2408若，则， ， ， 的大小关系为（ ）ABCD9如图，在直三棱柱中，点分别是线段的中点，分别记二面角，的平面角为，则下列结论正确的是（ ）ABCD10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）AB64CD3211如图是正方体截
4、去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）ABCD12函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在三棱锥中，平面，已知，则当最大时，三棱锥的体积为_14已知双曲线C：（）的左、右焦点为，为双曲线C上一点，且，若线段与双曲线C交于另一点A，则的面积为_.15的展开式中，的系数为_（用数字作答）.16若，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）讨论的单调性
5、；（2）若恒成立，求实数的取值范围.18（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值.19（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105
6、（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.20（12分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.21（12分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，求的通项公式；（3）在第（
7、2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；22（10分）已知是等腰直角三角形,分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥()求证：平面平面()当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D2、C【答案解析】求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同
8、的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【题目详解】依题意，令，解得，故当时，当，且，故方程在上有两个不同的实数根，故，解得.故选：C.【答案点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.3、C【答案解析】先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结
9、果.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要条件.故选C【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.4、D【答案解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积【题目详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即60，由底面边长为3得，正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，故选：D【答案点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键5、A【答案解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及
10、其性质.6、B【答案解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【题目详解】选项A：由于，即，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.【答案点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.7、A【答案解析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【题目详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），当“乐”排在第一节有（种），当“射”和“御”两门课程
11、相邻时有（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），故选：【答案点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题8、D【答案解析】因为，所以，因为，所以,.综上；故选D.9、D【答案解析】过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案【题目详解】解：因为，所以，即过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，设平面的法向量， 则，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，
12、故选：D【答案点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题10、A【答案解析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【题目详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，故.故选：A【答案点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.11、C【答案解析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【题目详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为的正方体
13、中截去四棱锥所形成的几何体，该几何体的体积为.故选：C.【答案点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.12、A【答案解析】依题意有的周期为.而，故应左移.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【答案解析】设，则，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为414、【答案解析】由已知得即，,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【题目详解】由已知得，又，所以，解得或，由在双曲线C上，所以或，所以或（舍去），因此双曲线C的方程为.又，所以线段的方程为，与双曲线C的方程联
14、立消去x整理得，所以，所以点A坐标为，所以.【答案点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.15、60【答案解析】根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.【题目详解】因为，所以，则所求项的系数为.故答案为：60【答案点睛】本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.16、【答案解析】由， 得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.【题目详解】因为， 所以，所以.故答案为：.【答案点睛】本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
