1、第 卷 第期中 国 机 械 工 程 年月 考虑二元 统计量的晶圆制造叠加误差监测郝澜宇周笛李艳婷潘尔顺上海交通大学机械与动力工程学院，上海，摘要：目前，大多数晶圆制造研究集中在基于离散数据的缺陷模式识别上，而芯片的光刻制造是连续叠加过程，因此基于连续数据的晶片重叠误差监测具有挑战性和必要性。在数据监测过程中充分考虑数据的可解释性，同时结合晶圆数据特性及其物理意义加入新的惩罚项，改进 降维模型，提出了灵活度较高的稳健稀疏主成分分析技术；然后基于 的置换对称、反射对称两种性质，考虑晶圆的几何特征，建立了最佳多元耦合统计量，用于监测晶圆制造的叠加过程异常。所提方法监测异常数据的准确率可达 ，具有较高
2、的工程应用价值。关键词：异常监测；改进 模型；性质；晶圆制造中图分类号：开放科学（资源服务）标识码（）：，：，：；收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（，）引言半导体技术一直是现代电子工业发展的原动力和重要基础，其应用领域包括新能源、信息通信设备、智能电网等。大多数用于微电子和光电子器件的集成电路是在其表面使用半导体晶片制造而成的。晶圆是集成电路的主要原材料，其缺陷是影响产品合格率的主要因素。晶圆制造过程复杂、漫长且成本高昂，必须在洁净室环境中进行数个化学步骤，例如沉积、刻蚀、光刻等，并且需要监控大量关键过程。在制造过程中收集传感器读数和晶片形状测量值等对工艺进行建模和监控，及时准确地检测缺陷
3、，有助于质量控制，使产品达到更高的合格率。晶圆数据具有高维特征，为后续的分析处理增加了难度。高维数据集应用越来越广泛，为更好地解 释 其 含 义，提 出 了 主 成 分 分 析（，）方法，既能以可解释的方式降低数据维度，也能保留数据集的大部分统计信息。尽管 方法在工程、生物学、社会科学等领域都有着广泛的应用，但仍存在部分缺点。首先，对于高维数据，方法计算量较大，同时因其不能产生稀疏主成分而很难给出合理解释；其次，方法不稳定，鲁棒性较差，对异常值非常敏感。为此，等提出了一种最小二乘法 （，）模 型 以 增 加 稳 定 性；等提出了一种基于正则化奇异值分解的稀疏 （，）模型，通过获取稀疏主成分的方
4、式来增强数据集的可解释性，但稳定性较差。最终，为同时解决稳定性和可解释性，等将 与 两种方法相结合，提出了一种基于最小二乘法的稀疏 方法（），计算更快速，模型更稳健，可解释性更强，但该方法在处理某些高维数据集时不够稀疏，导致模型复杂度偏高。针对制造过程高维数据的异常监测，目前应用最广泛的是多元统计控制图方法。考虑不同工程背景，现有大多数方法存在一定局限性。首先，缺少足够的先验理由，近似分布假设并不成立；其次，不 同 数 据 维 度 之 间 存 在 一 定 的 相 关性，大多数多变量监测过程并不独 立；然后，变量之间依赖结构不灵活，不利于对数据的灵活建模；最后，多元统计过程往往缺少确定的联合分布
5、来描述。故将 模型引入多元统计控制图，其原理主要是将单变量的边缘分布函数和 函数进行组合，生成高维数据的联合分布函数，可用于构建灵活准确的多元分布，其中，函数的选择取决于变量间的相关关系。等 提出了一种基于 函数的双变量零膨胀泊松分布模型，基于所得的联合分布建立了用于监控稀有事件的双变量控制图。提出了一种基于非参数核密度估计方法的多元 控制图，由于 函数具有多种不同的分布族，适用于不同场景，故可以得到相对灵活的控制图，并证明在监测非高斯分布数据时，经典 规则可能产生许多误报。但通过密度估计方法构建 控制图仍存在一定局限性，如可能无法检测到受监控过程变量的多元分布形状变化，如果密度估计错误则会导
6、致大批量误报等。等 提出了两种新的基于 性质的多变量监测方法，对分布变化更敏感，并且不需要估计联合分布。在晶圆制造中，数据维度高且耦合性强，其缺陷模式识别主要靠人工进行，现有大多数方法限于图像分类，无法分析缺陷的根本原因，且图像尺寸会影响到检索性能，故将机器学习技术引入晶圆缺 陷 模 式 识 别 可 大 大 提 高 识 别 能 力。等 开发了一种集成空间统计和神经网络的制造智能解决方案，用于晶圆地图模式的检测和分类，以构建一个在线监控和可视化系统，具有扩展的统计过程控制图。等 利用 对晶圆缺陷模式进行分类，并通过欧氏距离和二维归一化相关系数计算相似度，从而实现缺陷根源分析。等 提出了一种基于流
7、形学习算法与高斯混合模型动态集成的晶圆缺陷模式识别方法。目前，基于离散数据的晶圆图缺陷模式识别在很多研究中都很常见，但针对后续光刻步骤中检测到的晶片重叠误差连续数据却少有人研究，具有挑战性和必要性。本文结合晶圆结构中的置换特征和反射特征，开展芯片制造过程中的缺陷误差研究。针对高维连续晶圆数据难以准确监控的问题，本文在数据监测过程中充分考虑数据的可解释性，改进 降维模型，提出灵活度较高的稳健稀疏主成分分析技术，然后建立一种基于 的多元耦合统计量异常监测方法。晶圆制造叠加误差监测晶片层与层之间的许多加工步骤都会引起整个晶圆的应力变化、扭曲或者形变，从而产生叠加误差。叠加误差可以体现所有过程中累积的
8、应力变化。图展示了一个简化的晶圆叠加误差产生过程。首先，在晶圆上进行沉积工艺并快速暴露在热退火中，使自由状态的晶圆出现曲率。然后，将晶圆夹平，并在光刻工艺中进行图案化。为了生成第二层图案，需要改变晶圆的形状再沉积一个新层。最后，平整的晶圆被图案化。由于晶圆再次被压扁，第一层图案的距离增加，但新图案的印刷距离保持不变，导致图案之间产生一定的错位，即叠加误差。图晶圆片误差叠加过程 数据集中包含大量正常情况和异常情况下的晶圆图像，以此为基础开展相关研究。其中，异常情况共有三种：轴方向偏移、轴方向偏移和 双轴方向偏移。图是晶圆形状和其对应的在轴方向上发生偏移的叠加误差异常图像。晶圆异常图像主要由晶圆形
9、状及其对应的叠加误差两部分组成，且晶圆形状会直接影响产生的叠加误差。考虑几种跨越不同空间波长范围的中国机械工程 第 卷 第期 年月上半月（）晶圆形状（）轴方向叠加误差图像图晶圆图像 晶圆形状特征，确定晶圆的整体形状在几十微米的范围内弯曲。只考虑弓形结构和微观形貌，并假设在晶圆表面上沉积一层薄层，会导致晶圆形成弓形几何形状，公式如下：（，）（.）（）式中，为弓形大小，设为 ；为晶圆半径，设为 。然后进行光刻工艺，晶圆形状会发生弓形和波浪形变化：（，）（.）（）（）式中，为弓形大小，通常在 间均匀采样；、为对应的波高和波长；为假定的波形数量。引入平面内变形（，）的计算公式：（）其中，表示加工工艺前
10、的晶圆几何形状。由此可见，与晶圆形状的导数成一定比例。经过证明，可得 （）（）（）（）式中，为常数，值为；为晶圆的厚度。对于晶圆中的两层晶片和，分别计算 并相减，则可以得到形状斜率差（，），即 ，。根据模型对 进 行 修 正，可 得 形 状斜 率 残 差（，），进而得到平面内预 测 变 形 残 差（，）的表达式：（）式中，为一个常数，取决于晶圆厚度，通常取。晶圆叠加误差主要是指制造过程中平面变形引起的图案错位，受晶圆形状、和 等多种因素影响。考虑到晶圆图像的基本结构是圆形，对应坐标轴方向，存在置换特征和反射特征。正常图像满足置换对称和反射对称的性质，而平面变形后的异常图像不满足。根据其异常形式
11、的不同，共分为轴方向偏移、轴方向偏移和 双轴方向偏移三种误差表现形式。本文研究过程的流程如图所示。图研究过程流程图 基于改进 技术的高维晶圆数据分析.晶圆数据分区预处理从晶圆数据集中挑选 张正常图像、张轴方向偏移异常图像、张轴方向偏移异常图像和 张、双轴方向偏移异常图像，共 组数据用于研究。因晶圆图像中所包含的数据是高维且连续的，为脱离图像本身，将晶圆图像处理成只含有数据但不包含图形信息的数据，使图像尺寸不会对性能造成影响，因此需对图像进行分区处理。将整个晶圆地图按照图划分为 个区域，可以看出，四角中共有 个区域会采集到无效数据，故将其剔除，得到 维有效数据。同时对数据进图图像分区示意图 考虑
12、二元 统计量的晶圆制造叠加误差监测 郝澜宇周笛李艳婷等行去均值等处理后，可得到有效算例数据。图是 个算例数据的前 个维度分布图，可以看出不同维度数据间存在较大差异性。晶圆图像中不同维度产生的叠加误差不同，规律性不图算例数据分布图 强，差异性较大。为提高监测算法精度，适当减小计算量，对高维晶圆分区数据进行异常监测时需进行一定的预处理。考虑晶圆分区数据的维度差异性，对其进行简单统计及可视化处理。图和图分别是正常晶圆数据和轴方向偏移异常晶圆数据所对应的箱线图，图是两类图像的中位数图。由图和图可以看出，正常晶圆数据的分布相比异常数据更为分散。以图 所示晶圆轴方向叠加误差图像为例，发现异常图像因应力变化
13、产生的变形会导致各维度的采集数据变小，符合数据分布规律。对比后可知，正常数据和异常数据的分布存在较为明显的差异，具有一定区分性。图正常晶圆数据箱线图 图轴方向偏移异常晶圆数据箱线图 由图可以看出，维度、维度、维度、维度 等在两组数据中差异较大，能较好地判别数据是否偏移，而维度、维度、维度 和维度 等在两组数据中几乎具有相同的数值，对区分数据贡献不大。不同维度数据所包含的价值不同，故对算例数据进行整合降维处理是有必要的。由此，结合所构建的晶圆图像分区数据，展开高效的统计监测技术研究。改进 模型考虑晶圆数据模型，其中（，），是的中心，（，）是独立 同分 布的 高 斯 随 机 效 应，且是要估计的单
14、个主成分，同时，（，）是独立的随机噪声向量。定义（，）为协方差矩阵等图算例数据中位数图 于?（）（）（）的晶圆数据矩阵，其中，为均值。为了获得的估中国机械工程 第 卷 第期 年月上半月计值?，需要解决以下近似问题：，（）其中，（）（）表示矩阵的范数，其估计形式为?（）。为产生稀疏的主成分，提出 模型。假设为问题（）的最优解，令，其中，则问题（）的等价表现形式为 ，（）其中，为解，即要求的晶圆数据主成分。为实现稀疏性，在问题（）的基础上添加一个惩罚项实现的收缩：，（）（）式中，（）（）为非负惩罚函数；为的第个元素；为调优参数。为增加稳定性，提出 模型，其目标函数可以表示为 ，（）（）（，）（，）
15、式中，（）为子矩阵。将问题（）和（）相结合，则可以估计出稀疏且稳健的主成分，得到 模型，目标函数如下：，（）（）（）针对晶圆数据特性，在使用 模型进行降维的过程中对其进行改进。在目标函数中加入新的惩罚项，在保证稀疏性的同时，限制各主成分中的各项系数不能过低，使其具有一定的物理意义。改进后的目标函数如下：，（）（）（）其中，（）（）（）是非负惩罚函数。改进的 模型能更高效地处理高维晶圆分区数据，估计出稀疏且稳健的主成分，在保留数据绝大部分统计信息的同时提高其可解释性，为后续异常监测研究提供了有效数据集。.数据投影处理晶圆数据集中共包含可用数据 组，其中每类数据 组。以识别轴方向偏移异常为例，从正
16、常数据和轴方向偏移异常数据中各抽取 组作为训练集，各剩余 组用来测试模型效果。利用改进 模型对晶圆数据进行投影处理，得到效果最好的个稀疏主成分。图为其对应的解释方差图，可以看出，前个主成分数值偏大，整体占比较高，能更好地刻画晶圆特征。图解释方差图 图 是个稀疏主成分所对应的各维度系数分布图。结合图像分区原则，对主成分所提取的区域进行标注，结果如图 所示。由图 可以看出，第一主成分的系数较为分散，除维度 外，其余系数呈上下对称分布，分别对应图 中红色虚线凸起部分。由图 可以看出，第二主成分的系数主要分布在个维度，呈上下对称分布，分别对应图 中蓝色虚线凸起部分。图 各维度系数分布图 （）第一主成分标注图（）第二主成分标注图图 图像分区标注图 根据改进 模型的计算结果对晶圆分区数据进行投影处理，筛选出有效数据。此考虑二元 统计量的晶圆制造叠加误差监测 郝澜宇周笛李艳婷等时，维数据被处理为维投影数据，保留了绝大部分统计信息的同时还提高了数据的可解释性。利用改进方法实现数据降维技术，可通过较小的数据量监测出连续数据的变化，效率更高。基于 性质的统计量监测方法 性质一般地，设（，）为密度为的过程维
