1、http:/DOI:10.13700/j.bh.1001-5965.2021.0235声学超表面抑制高速边界层内宽频不稳定模态研究王蔚彰1，孔维萱2，严昊1，赵瑞1，*(1.北京理工大学宇航学院，北京100081；2.北京航天长征飞行器研究所，北京100076)eN摘要：以声学超表面为研究对象，使用线性稳定性理论（LST），研究了声学超表面导纳相位与幅值对超声速平板边界层内宽频不稳定模态的影响规律。结果表明：当导纳相位 接近0.5 时，第 1 模态被抑制的同时第 2 模态会被激发，且在较低频率范围内导纳幅值的增大能够使第 1 模态更加稳定；当导纳相位 接近 时，可抑制第 2 模态但同时激发第
2、1 模态；整体上，导纳幅值越大，对不稳定模态的抑制或激发效果越明显。在此基础上，结合缝隙几何参数对导纳的影响，提出一种可实现性宽频抑制方案，通过分段设计声学超表面微结构的几何尺寸，实现了同时抑制第 1 模态和高频第 2 模态的目标,并使用方法验证了转捩抑制效果。关键词：声学超表面；不稳定模态；线性稳定性分析；边界层转捩；超声速流动中图分类号：V211.3；O354.4文献标志码：A文章编号：1005-5965（2023）02-0388-09在高超声速的飞行工况下，飞行器壁面的层流极易发展为湍流，该过程即为转捩1。转捩会使得飞行器壁面摩阻和壁面热流显著增加，从而使得飞行器载重比减小，燃油效率降低
3、等。转捩问题是经典力学遗留的少数基础科学问题之一，与湍流问题一起被称为“百年难题”。随着高超声速飞行器的不断发展，有效控制高超声速边界层转捩愈发重要，进而降低飞行阻力，减小壁面热流，提高燃料效率2-5。目前的转捩控制技术可分为两大类：主动控制技术，如壁面吹吸、等离子激励、二氧化碳注射等，由于需要在飞行器外部增设运行机构，不便应对高超声速飞行工况下严峻的气动力热环境，很难投入到实际工程应用当中；被动控制技术，如粗糙元、波纹壁、声学超表面等，由于其机构设置简单，具有较高实用前景。其中声学超表面特征尺度（孔径）远小于边界层厚度，对基本流影响较小。由于声学超表面具有各种不同的材料特性和微结构形式，可通
4、过多种作用机理影响转捩，应用前景更加广泛6-8。对于可压缩流动，边界层内扰动可以分为快声波、慢声波、熵波和涡波。快、慢声波是相对自由流以声速传播的扰动，假设自由流的马赫数为 Ma，则快、慢声波的无量纲相速度分别为 c=11/Ma，可分别激发出快/慢(F/S)模态，主要区别在于相速度，在流场前端，F 模态的相速度趋近于 1+1/Ma，S 模态的相速度趋近于 11/Ma。快模态向下游发展到某个流向位置处时，其与慢模态相速度的实部相同，这个位置被称为同步点。同步点之前，慢模态为第 1 模态；同步点之后，慢模态为增长率较高的第 2 模态9-11。Fedorov 等2最早使用线性稳定性理论12（line
5、arstabilitytheory,LST）研究了规则微型圆孔超表面对第 2 模态的抑制效果，并在高超声速尖锥风洞试验中证实了声学超表面能够显著延长层流区域13。涂国华等14基于 Fedorov 的方法探索了多孔超表面的最优开孔率和孔半径，Zhao 等15考虑了相邻孔收稿日期：2021-05-07；录用日期：2021-06-20；网络出版时间：2021-07-1308：53网络出版地址： J.北京航空航天大学学报，2023，49（2）：388-396.WANG W Z，KONG W X，YAN H，et al.Acoustic metasurfaces for stabilization of
6、 broadband unstable modes in high speed boundarylayerJ.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2023，49（2）：388-396（in Chinese）.2023年2月北京航空航天大学学报February2023第49卷第2期JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsVol.49No.2=ns/L之间的干扰，提出了具有更高预测精度的超表面阻抗模型，并采用直接数值模拟方法（directnum
7、ericalsimulation，DNS）详细分析了扰动与微结构相互作用演化过程16-17。郭启龙等18对较大尺寸的横向矩形微槽进行了数值模拟，研究表明横向微槽在一定宽带频率范围内对第 2 模态有明显的抑制作用，且开槽率越大，抑制效果越好，其中开槽率，n 为开槽数，s 为微槽宽度，L 为整个开槽表面的流向长度。Tu 等19通过对比分析天地工况下的稳定性，发现钝度雷诺数对转捩 N 值影响较大，给出多个经验关系式，提高转捩预测精度。刘强等20对高超声速边界层的主要失稳机制进行了概述，分别从主动和被动控制 2 个方面详细介绍了延迟转捩控制技术的最新进展。但是 Fedorov 等21针对金属毡的实验研
8、究发现，声学超表面在抑制第 2 模态的同时，会引发第 1 模态的不稳定性，并且该不稳定性随着壁面温度的下降而减弱。Wang 和 Zhong22-23发现声学超表面的放置位置及导纳相位角对边界层稳定性的抑制效果均有一定影响。Tian 等24提出一种反向设计方法，在马赫数为 4 边界层流动中有效抑制第 2 模态，同时不显著激发第 1 模态，然而这种设计方法需要沿流向渐进改变微结构几何尺寸，不易加工实现。更重要的是，在该马赫数下，同时存在第1 模态和第2 模态，需要综合考虑。随后，赵瑞等25针对第 1 模态进行了声学超表面的设计，实现了在单频和宽频下抑制第 1 模态的目的，但未考虑对第 2 模态的影
9、响。实际工程应用中，声学超表面在抑制边界层转捩主导模态的同时，应避免激发另一模态诱发转捩，这样才能有效延长层流覆盖区域。基于该目的，本文以马赫数为 4 的超声速边界层为研究对象，使用 LST 研究了声学超表面导纳相位与幅值对各扰动模态的影响规律，提出一种工程可实现的声学超表面设计方案。在综合考虑第 1 模态和第 2 模态的前提下，能够实现宽频扰动抑制。1研究方法与模型1.1线性稳定性理论用线性稳定性分析26-29研究可压缩黏性流体高超声速边界层中的不稳定性问题。设扰动量 为(x,y,z,t)=(y)ei(x+zt)+c.c.（1）=u,v,p,T,wT uc.c.式中：（与其他参数上方的符号表
10、示扰动量）；为共轭复数；u、v、w 分别为 x（流p w向）,y（垂直于壁面）,z（展向）方向上的速度分量；为压力；T 为温度；和 分别为复流向波数和展向波数；i 为虚数单位；t 为时间；为角频率。因本文假设来流扰动为二维扰动，因此，z 方向上的参数与 项均忽略不计。将瞬时量表示为平均流和扰动量之和，代入可压缩黏性流体的雷诺平均 Navier-Stokes 方程和气体状态方程可推导出扰动的控制方程为Ctt+Cxx+Cyy+Czz+C0=Cxx2x2+Cxy2xy+Cyy2y2+Cxz2xz+Cyz2yz+Czz2z2+Fn（2）式中：C 为五阶矩阵；Fn为非线性项。将式(1)代入式(2)中，忽
11、略非线性项，可得C0+Cxx+Cyy=Cxx2x2+Cxy2xy+Cyy2y2（3）式中C0=iCt+C0+iCx+iCz+2Cxx+Cxz+2CzzCx=Cx2iCxxiCxzCy=CyiCxyiCyz基于平行流假设，流向的导数项可忽略不计，式(3)可简化为C0+CyyCyy2y2=0（4）边界条件为y=0:u=w=T=0,v=A py :u=v=w=T=0（5）AA|A|=0式中：为声学超表面的导纳。导纳为声阻抗的倒数，其值取决于材料特性、孔隙参数及扰动参数等。对于光滑壁面，。声阻抗为声压与声流量之比，表示声波在介质中传播时需要克服的阻力。i=i 0 0联立式(4)和式(5)，通过数值方法
12、求解得到,虚部为，则扰动波的增长率。若，即增长率,则表示扰动波处于不稳定状态，本文采用 表征扰动波的增长率大小。eN1.2方法eN方法是基于线性稳定性理论，通过累计不稳定波的线性增长率来预测转捩的一种半经验方法30。边界层内的小扰动逐步向下游传播，进入不第2期王蔚彰，等：声学超表面抑制高速边界层内宽频不稳定模态研究389稳定区域后扰动的幅值会被逐步放大。沿扰动传播的方向对增长率积分，可以得到幅值的放大倍数为N(,x)=xx0(,x)dx（6）x0 x式中:为积分起始位置；为任意流向位置。NTNNTNT通常根据实验或经验设定一个转捩判据，当达到时认为转捩发生。实际流动中，有多种不同频率的小扰动，
13、可计算得到一族不同频率下的转捩判据 N 值曲线，取该族曲线的包络线，当 N 值包络达到时，对应的位置认定为转捩发生位置，即转捩位置与 N 值包络应满足：N(x)maxN(,x)=NT（7）xtrx0其直接连接了转捩位置与起始位置处扰动的振幅比关系，可以写为A(xtr)/A(x0)=eNT（8）1.3缝隙型超表面的阻抗模型Pr=Re=TeTw=u和vTUeeTeepeUe21/lUe/l=2fl/Uel=ex/(eUe)假设来流为理想气体，普朗特数0.72，比热比1.4。来流条件与文献 24 相同，即来流马赫数 Ma=4，单位雷诺数1.39107，来流温度=70.238K，板长为0.4m。平板壁
14、面为等温壁295K，上标*表示参数有量纲，边界层外缘参数用下标 e表示。动力黏性系数通过 Sutherland 定律求得。速度、动力黏性系数、温度和密度分别以边界层边缘处的速度、和进行无量纲化。压力、流向波数 和无量纲角频率分别以、和作为量纲,其中无量纲角频率，其中，。xOyy2bHsn=2b/sAr=2b/Hl如图 1(a)所示为缝隙型超表面在面内的二维切面，方向为孔深方向。缝隙的孔宽为，孔深为，周期为。对应的孔隙率，宽深比。x、y 及长度等变量通过 进行无量纲化。图1(b)为缝隙型超表面的三维结构示意图。缝隙型声学超表面的导纳式24为A=nMaTw(1tan(kvb)kvb)1+(1)ta
15、n(ktb)ktbtanhihMa1+(1)tan(ktb)ktbTw(1tan(kvb)kvb)（9）kvkt式中：和 分别为无量纲黏性波数和热波数。A=|A|ei|A|导纳 A 可表示为。其中为导纳幅值，（实数）为导纳相位。每单位面积的声学超表面对扰动能量的影响为Ew=14(pw+c.c.)(vw+c.c.)=|A|p|2cos（10）式中：c.c.为相应的共轭复数；下标 w 为壁面参数。Ew 0由于声学超表面微结构对扰动波的黏性耗散作用，。因此，相位 的取值范围是 0.5 1.5。2声学超表面设计2.1导纳对扰动模态的影响如图 2 所示为光滑平板表面的线性稳定性分析结果，从图 2 中可以
16、看出，在宽频范围下，平板边界层中同时存在第 1 模态与第 2 模态，且较小的无量纲角频率对应为第 1 模态，较大时对应第 2 模态。随着流向位置 x 的变化，第 1 模态和第 2 模态增长率大于 0 所对应的 范围基本不变，第 1 模态在范围为 0.030.12 内增长率大于 0，第 2 模态在 范围为 0.230.27 内增长率大于 0。因此，可以采用无量纲角频率表示第 1/第 2 模态的不稳定性性质，与文献 24-25 结论相同。|A|以 x=0.2m 处为例，进一步研究声学超表面导纳相位 变化范围：0.5 1.5，幅值变化范围为：(a)二维示意图(b)三维示意图缝隙固体壁面缝隙Hs2byyxxzO图1缝隙型声学超表面的示意图Fig.1Schematicdiagramoftheaperturetypeacousticmetasurface390北 京 航 空 航 天 大 学 学 报2023年|A|18，对边界层中的第 1/第 2 模态增长率的影响规律。从图 3(a)中可以看出，导纳相位=0.5 时，第1 模态可被抑制，但同时，第 2 模态会被激发；从图 3(b)中可以看出，相位 为
