1、 文章编号:1 6 7 3-5 1 9 6(2 0 2 3)0 1-0 1 5 8-0 6时间分数阶C a b l e方程修正格式的误差分析吴晓蕾*1,杨 艳1,闫玉斌2(1.吕梁学院 数学系,山西 吕梁 0 3 3 0 0 0;2.彻斯特大学 数学系,英国 C H 2 4 B J)摘要:考虑时间分数阶C a b l e方程在修正的二阶向后差分格式下的误差分析.利用连续L a p l a c e变换、反L a p l a c e变换方法得到方程的准确解,类似得到空间有限元半离散解;运用L u b i c h的修正方法引入此分数阶微分方程的修正格式,离散的L a p l a c e变换、反L a
2、 p l a c e变换法得到C a b l e方程的时间离散解,进而讨论了时间离散下L2范数的误差估计,得到二阶收敛阶,并用数值算例验证了定理的结论.这个结论比不修正的情形下一阶收敛阶要高.关键词:分数阶C a b l e方程;R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶导;L a p l a c e变换;非光滑数据误差估计中图分类号:O 2 4 1.8 文献标志码:AE r r o ra n a l y s i so fm o d i f i e ds c h e m e s f o r t i m e-f r a c t i o n a lC a b l ee q
3、 u a t i o nWUX i a o-l e i1,YAN GY a n1,YANY u-b i n2(1.D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s,L l i a n gU n i v e r s i t y,L l i a n g 0 3 3 0 0 0,C h i n a;2.S c h o o lo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,U n i v e r s i t yo fC h e s-t e r,C h e s t e r,C H 2 4 B J,UK)A b s t
4、 r a c t:E r r o r a n a l y s i s o f t h em o d i f i e d s e c o n d-o r d e r b a c k w a r dd i f f e r e n c e s c h e m e f o r t h e t i m e-f r a c t i o n a l C a b l e e q u a-t i o n i s c a r r i e do u t.B yu s i n gc o n t i n u o u sL a p l a c e t r a n s f o r ma n d i n v e r s eL
5、 a p l a c e t r a n s f o r m,t h e e x a c t s o l u t i o no f t h e e-q u a t i o n i s o b t a i n e d,a n d t h e f i n i t e e l e m e n t s e m i d i s c r e t e s o l u t i o n i s o b t a i n e d s i m i l a r l y.T h e nL u b i c hs c o r r e c t i o nm e t h-o d i su s e d t og e t t h e
6、m o d i f i e d f o r mo f t h e f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n.T h ed i s c r e t e s o l u t i o n s o f t h eC a b l e e q u a t i o na r eo b t a i n e db ym e a n so f t h ed i s c r e t eL a p l a c e t r a n s f o r ma n d t h e i n v e r s eL a p l a c e t r a n
7、s f o r m.F i n a l l y,t h e e r-r o re s t i m a t e su n d e r t h en o r ma r ed i s c u s s e da n dt h es e c o n do r d e ro f c o n v e r g e n c e i so b t a i n e d.N u m e r i c a l r e-s u l t sv e r i f i c a t i o n i s f i n a l l yp e r f o r m e dt ov a l i d a t e t h e t h e o r e
8、 t i c a l f i n d i n g sd i s c u s s e dh e r e,w h i c hp r o v e dt h a ti t i sb e t t e r t h a nt h e f i r s to r d e rc o n v e r g e n c ew i t h o u tm o d i f i c a t i o n.K e yw o r d s:f r a c t i o n a lC a b l e e q u a t i o n;R i e m a n n-L i o u v i l l e f r a c t i o n a l d
9、e r i v a t i v e;L a p l a c e t r a n s f o r m;N o n s-m o o t hd a t ae r r o re s t i m a t i o n 在希尔伯特空间H=L2(D)上考虑如下模型:u(t)+R0DtA u(t)+R0Dtu(t)=f(t)00,u0H,f(t)H,R0Dstu(t)代表s(0,1)阶R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶导,定义为1-2R0Dstu(t)=|1-s()ddtt0t-()-sd 收稿日期:2 0 2 1-1 2-3 1 基金项目:国家自然科学基金(1 1 7 7 1
10、 1 8 4),山西省自然科学研究面上项目(2 0 2 1 0 3 0 2 1 2 2 4 3 1 7),山西省自然科学基金(2 0 1 8 0 1 D 1 2 1 0 1 0),山西省高校科技创新计划项目(2 0 2 0 L 0 7 0 0)通讯作者:吴晓蕾(1 9 8 7-),女,山西运城人,讲师.E m a i l:5 6 8 2 4 8 3 0 1q q.c o m这里A=-是H上正定、自伴的算子,D A()=H2H10.H2H10均为标准的S o b o l e v空间,并且有以下的预解估计3-4:z I+A()-1 C|z|-1z=z0:|a r gz|2,(2)C a b l e
11、方程是反常扩散现象的一个重要的数学模型,应用广泛,比如模拟离子在神经细胞中的运动、多刺的神经元树突等.近年来,许多学者关注该方程的 数 值 方 法:有 限 差 分5-6、谱 方 法7、有 限元8-9、G r u n w a l d-L e t n i k o v方法1 0、不连续G a l e r-k i n方法1 1等.但是以上文献都在解光滑的前提下进行研究的,比如uCm0,T,H(),m1.这个特点有时候对时间分数阶偏微分方程很难做到,是第4 9卷第1期2 0 2 3年2月兰 州 理 工 大 学 学 报J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s
12、i t yo fT e c h n o l o g yV o l.4 9 N o.1F e b.2 0 2 3因为t=0点的奇异性,比如u(t)是方程u(t)+C0DtA u(t)=0,0tT,u(0)=0的解,其特点类似t1-,显然不满足:uCm0,T,H(),m1 S t y n e s等1 2-1 7开始对时间分数阶偏微分方程非光滑数据误差估计进行研究,但是对于C a b l e方程此类问题的研究还甚少.因此基于以上文献,本文主要用L u b i c h的离散方法,结合上述文献及L a-p l a c e方法,给出准确解、有限元半离散及时间全离散解的表达式,讨论齐次C a b l e方程
13、(f=0)在修正向后差分时间离散格式下的非光滑数据的误差估计,得到高阶的收敛阶.用数值算例验证理论结果.1 准确解及离散解的表达式1.1 准确解、有限元半离散解的表达式令u(t)-u0=v(t),则式(1)的齐次形式等价变形为v(t)+C0DtA v(t)+C0Dtv(t)=-R0DtAu0-R0Dtu0 0tT,v(0)=0(3)注意到C0Dtu(t)=R0Dt(u(t)-u0),对方程(3)两边进行L a p l a c e变换1 5,1 8,得到zv(z)+zAv(z)+zv(z)=z-1-Au0()+z-1(-u0)因此v(z)=z1-+z-+A()-1z-1-Au0()+z1-+z-
14、+A()-1 z-1-u0()应用反L a p l a c e变换有v(t)=12 iez tg(z)+A()-1z-1(-Au0)dz+12 iez tg(z)+A()-1 z-1(-u0)dz(4)其中=zC:|a r gz|=,2g(z)=z1-+z-根据有限元分析理论3,显然方程(3)的空间有限元半离散格式为v h(t)+C0DtAhvh(t)+C0Dtvh(t)=-R0DtAhuh0-R0Dtuh00tT,vh(0)=0(5)式中:Ah为离散的拉普拉斯算子,uh0=Phu0(Ph为定义在H上,取值于有限元空间的正交投影算子).类似式(4)表达式求法可得有限元半离散解vh(t)=12
15、iez tg(z)+Ah()-1z-1-Ahuh0()dz+12 iez tg(z)+Ah()-1 z-1(-uh0)dz(6)1.2 时间离散修正格式及离散解的表达式因为有限元空间半离散的误差估计在文献1 9的定理3.1中已进行研究,具体估计结果如下.定理11 9 v(t),vh(t)分别为式(4)和式(6)定义的方程(3)的准确解及有限元半离散解,则v(t)-vh(t)C h2t-1u0 虽然文献1 9 中时间也有离散,但是收敛阶为1阶,所以该文中只关注非光滑数据的误差估计,即在有限元半离散的基础上考虑时间离散的修正格式,并进行误差分析,以提高收敛阶.将0,T 平均剖分N份,分割点0=t0
16、t1t2tN=T表示时间步长.uh(tn)表示t=tn处有限元半离散解,un表示t=tn处的时间全离散解.下面将对式(1)的齐次形式进行时间离散,得到相应的2阶向后差分格式(c0=0的情形)及修正格式(c0=1/2的情形).首先需对式(1)的齐次形式等价变形为C0D1-tu(t)+A u(t)+R0D-tu(t)=0此时该方程的有限元半离散格式为C0D1-tuh(t)+Ahuh(t)+R0D-tuh(t)=0其中uh(0)=Phu0.令uh(t)-uh0=vh(t),则有C0D1-tvh(t)+Ahvh(t)+R0D-tvh(t)=-R0D-tuh0-Ahuh0(7)在t=tn处,令R0Dstv(t)=-snk=0(s)n-kvtk()+O(2)(s=1-,-),可参考文献4,1 5.令(s)-1=0,定义如下的修正格式:当n=1,-1nk=1(1-)n-kvk+Ahvn+-nk=1(-)n-kvk=-nk=1(-)n-kuh0+c0(-)n-1uh0()-Ahuh0+c0-Ahuh0()(8)当n2-1nk=1(1-)n-kvk+Ahvn+nk=1(-)n-kvk=-(nk=1(-)
