1、 C I P 1前 言 近几十年，我国广大数学研究人员一直致力于理论与实践相结合的研究，充分运用教育学、心理学、思维科学、哲学、逻辑学、系统方法论等基本原理，积极探索理论研究与实践，不但开创了数学教学论、数学学习论、数学课程论、数学方法论、数学思维论等许多分支学科或基础学科，而且全面开展了规模宏大的数学基础课程改革活动，多种数学学习改革实验也竞相启动与开展，大大促进了数学学习理论的建设和数学学习质量的提升。然而，从数学学习方法论的角度来看，哪些学习理论才最“接近”实践？何种学习理论才最有实践力？什么才是持续优秀学习改革实践的关键？其核心理念与思想支撑又是什么？等等，都需要我们进行深入思考。本书
2、是基于作者多年的学习经验精心编撰而成的，具备以下两大特点：首先，数学学习方法论体系的构建。数学学习研究，就是拥有较高的专业知识素养和学习理论素养，能够站在“制高点”俯视数学学习中的某些问题。以中小学数学学习理论为根基，了解和掌握中小学学习改革和发展的实际，深入分析和解决中小学学生在学习中存在的具体问题，将二者有效结合，融理论与实践为一体，找准展开数学学习研究的切入点。其次，遵循数学学习研究的双逻辑起点，既立足教育，又兼顾学习。一方面，数学学习首先是人的学习，因而就相对于一般学习研究而处于下位关系的数学学习研究而言，教育学、心理学等关于教育的一般理论对它无疑有指导意义。也就是说，数学学习中的很多
3、问题，可以用教育学、心理学等现成的理论演绎地解决。本书把 2 一般的心理学理论系统地概括是一种有益的尝试。另一方面，数学家们对数学的孽根性，决定了它的局限性，限制了它的普适性。本书对数学概念、数学命题、数学解题和数学思维方法等的探讨，应该说就是紧紧抓住数学学习来进行研究，力图使之区别于一般学习理论。当然，数学学习学科仍属于初创阶段，作为其分支学科之一的数学学习方法论究竟如何创建，同样也会是见仁见智的，但有了良好的开端，随着人们认识的不断深入，相信会有更多相关的理论不断涌现。崔连香 目 录 1目 录 第一篇 透视数学知识 第一章 数学概念学习1 第一节 数学概念是什么1 第二节 分析学习数学概念
4、的心理13 第三节 数学概念的学习方法23 第二章 数学命题学习28 第一节 数学命题的含义28 第二节 学习数学命题的方法34 第三节 数学命题的学习方式37 第三章 数学论证学习42 第一节 数学推导与论证42 第二节 解析数学证明学习的心理51 第三节 数学证明学习的基本方法54 第四章 数学解题学习59 第一节 初步认识数学解题59 第二节 波利亚的数学解题思想66 第三节 探索数学解题学习的设想策略74 第五章 数学思想方法学习79 第一节 数学思维方式的概念79 第二节 数学思维方式（一）哲学角度82 第三节 数学思维方式（二）思维角度86 数学学习方法概论 2 第二篇 透视学习理
5、论 第六章 主体性学习思维及其数学案例分析98 第一节 主体性学习思维分析98 第二节 基于主体性分析病态数学学习103 第三节 典型数学案例的分析与评价111 第七章 过程性学习思想及其数学案例分析118 第一节 过程性学习思维分析118 第二节 过程性视角下数学学习之审视122 第三节 典型数学案例的分析与评价126 第八章 建构性学习思维134 第一节 建构性学习思维分析134 第二节 数学建构主义的特点解析140 第三节 建构主义观下的数学学习方法145 第九章 理解性学习思维152 第一节 数学理解的概念152 第二节 数学理解的分类157 第三节 加深数学理解的学习方法162 第十
6、章 生成性学习思维及其数学案例分析168 第一节 生成性学习思维分析168 第二节 基于生成性视角的数学学习设计176 第三节 典型数学案例的分析与评价182 第十一章 问题式学习思维及其数学案例分析188 第一节 问题式学习思想分析188 第二节 数学问题解决的特性分析198 第三节 典型数学案例的分析与评价205 第十二章 情境式学习思维及其数学案例分析214 第一节 情境式学习思维分析214 目 录 3第二节 数学情境式学习的特性分析219 第三节 典型数学案例的分析与评价229 第十三章 启发式学习思维及其数学案例分析235 第一节 启发式学习思维分析235 第二节 数学学习中的启发策
7、略分析238 第三节 典型数学案例的分析与评价241 第三篇 透视学习实践 第十四章 怎样准备课程248 第一节 准备课程的方法248 第二节 撰写教案260 第三节 典型例题解析268 第十五章 怎样上课275 第一节 怎样引导275 第二节 怎样讲解280 第三节 怎样设问285 第十六章 怎样说课290 第一节 说课是什么290 第二节 说课的方法293 第三节 特殊案例分析298 第十七章 怎样研究课程305 第一节 研究课程的内涵305 第二节 研究课程的对策308 参考文献316 第一篇 透视数学知识 1 第一篇 透视数学知识 第一章 数学概念学习 第一节 数学概念是什么 一、数学
8、概念的含义和特征 1.数学概念是什么 客观事物都有属于自己的自然属性。在实践活动中，人们对所接触的各种事物的属性有了逐步了解，一般人们对客观事物的认识，是通过感官、直觉形成的，处于感性认识阶段。以感性认识为前提，再对比、分析、总结、归纳出一种事物特有而其他事物所不具备的属性，即事物的本质属性，这便是理性认识阶段，概念便是事物本质属性的体现。数学是以现实的空间形式和数量关系为研究对象，对数学对象本质属性体现的思维形式称为数学概念。例如，“等腰三角形”这个数学概念，它具有方向、大小、形状等属性，只要紧扣“三条边”这个属性，就能区别一般的多边形；只要抓住“两底角所对应的边相等”这个属性，就能区别一般
9、的三角形。“三条边”“两底角所对应的边相等”就是等腰三角形概念的本质属性。若从众多属性中将本质属性进行抽离，再以这些本质属性为整体，便形成了“等腰三角形”这个清晰的数学概念。由此可见，本质属性与属性不可分离。它是概念属 数学学习方法概论 2 性的一部分，但已不是本质属性。数学概念一般会用特殊的名称或符号来表示。名称或符号和与之相关的概念应当属于两个不同的范畴。名称或符号的内容是概念的体现，是人们认识事物结果的表达，并通过概念的名称或符号这种语言形式来表达概念。不同的名称或符号有时会表示同一个概念，如“3”“三”“three”都表示同一个数。又如，等边三角形和正三角形表达同一个数学概念。因此，在
10、进行名称或符号的使用时，注重的是它的内容，即与之相关的概念自身。有时同一个名称会根据不同的情况，表达不同的概念。2.数学概念的特征（1）数学概念是一切思维形式的根基 概念构成了判断，判断构成了推理，判断和推理又构成了论证。在概念的基础上，才能进行判断和推理，进而开始论证。因此，概念是一切思维形式的根基，被称为抽象思维的细胞。数学概念是最基本、最重要的数学知识，通过数学概念才能进行判断、推理和论证。例如，有了角的概念，才能作出关于角的命题、推理和证明。因此，掌握数学概念，是学好数学的前提之一。（2）数学概念的抽象性 某些客观事物是通过数学概念直接反映出来的。如，整数、角、线、面等。但是，绝大多数
11、数学概念是以某些数学概念为基础，通过抽象概括才逐步形成和发展的。如，无理数、复数，就分别是在有理数系和实数系的基础上形成的。数学概念无论直接还是间接的反映一类对象的本质属性，都具有抽象性。以正方形概念为例，现实生活中没有抽象的正方形，只有各种各样的具体的正方形，从某种意义上说，数学概念与现实严重“脱钩”。正因为抽象的程度远远高于现实的原始对象，数学概念才有如此广泛的应用。（3）数学概念的逻辑性 数学中的大多数概念，要么通过限制方法缩小概念的外延，要第一篇 透视数学知识 3 么通过总结方法扩大概念的外延，从而使概念具有一系列的从属关系。例如，正方形是有四个内角为直角的平行四边形；又如，所有数系的
12、具体含义不在考虑之内，只考虑其运算性质，可总结成群、环、域等概念。相应地，此类概念具有从属性，可形成一个概念系列，从而将数学概念的逻辑性体现出来。（4）数学概念的发展性 概念是相对稳定的。但是，随着客观事物的不断发展，人们对客观事物的认识也在不断增加，概念也就随之变化，概念的发展、变化，或是被赋予了新的含义，或是增加了更丰富的内涵，或是具备了更高的抽象性。如小学数学中所学的数，始终是 0 和正有理数；初中数学中所学的角，始终是 0180的角。然而，数、角的概念一直在不断发展中。又如，自然数有理数实数复数；锐角0180的角 0360的角 平面任意角空间角，等等。二、数学概念的内涵和外延 1.内涵
13、与外延的概念 概念的内涵是指被概念反映物质的根本属性。概念的外延是指集合了一切具有概念内涵的物质。概念的内涵体现了概念的质的特点，它对概念所反映的物质进行了详细的说明；概念的外延描述了概念的量的特点，它对概念所反映的范围进行了阐明，只要是科学的概念，都是有确定的内涵和外延的。例如，“偶数”的概念内涵是“能被 2 整除”的本质属性，其外延是全体的偶数；“一元二次方程”的概念内涵是“只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的等式”的本质属性，其外延是全体形如ax2+bx+c=0（a0）的方程。概念的内涵与外延确定了，便可将概念更好地认识和把握，不然就会出现差错。因此要加深认识概念的内涵与外延，同时
14、还要掌握它们之间的关系。数学学习方法概论 4 2.内涵与外延的相互关系 概念的内涵与外延既相互联系又相互制约。当扩大概念的内涵时，概念的外延就缩小；当缩小概念的内涵时，概念的外延就扩大。我们将内涵与外延之间的这种关系，称之为反变关系。例如，在“平行四边形”这一概念的内涵中，增加“有三个角是直角”这一属性，便使外延缩小得到“正方形”的概念；而减少“两组对边分别平行”这一属性，就使外延扩大得到“四边形”的概念。又如，在等腰三角形概念的内涵中，减少“有两条边相等”这一属性，就是三角形的内涵，而三角形的外延却远远大于等腰三角形的外延，但值得一提的是，这种反变关系，是以概念外延的比较为切入点，并与内涵之
15、间关系的分析相结合的。3.概念的界定与总结 一般通过概念的界定与总结对概念之间的关系进行了解。（1）概念的界定 概念的限定是指为将概念的认识从一般过渡到特殊，遵循反变关系，使概念的内涵增加，由概念的较大外延过渡到概念的较小外延。如：增加数列的内涵“从第二项开始，每一项与它的前一项的商都等于同一个常数”，就是等比数列，这样数列的内涵增加，外延缩小，就由数列过渡到等比数列。又如：增加三角形的内涵“两条边相等”，即成为等腰三角形，这样等式的内涵增加，外延缩小，就由三角形过渡到等腰三角形。正确的界定必须以概念的种类关系为基础逐级进行，而界定的结果，外延大的概念必须包含着外延小的概念，如果种类关系中不包
16、含界定的系列，那界定就是错误的，必须加以纠正。（2）概念的总结 我们对一些特殊概念到一般概念的认识，依旧遵循反变关系，通过减少概念的内涵，可完成一个具有较小外延的概念到一个具有较大外延的概念的过渡，成为总结性的概念。例如，由正整数到整数、由整数到有理数、由有理数到实数、由实数到复数的过渡，就第一篇 透视数学知识 5 是一个逐级总结的过程。从某种角度上说，数学概念的逻辑系统，真实地反映了概念的界定和总结，将概念的界定和总结有效地把握住，有助于我们对各类学习概念体系进行认知，以及掌握概念之间的内在联系，使数学概念更好地系统化。三、数学概念的相互联系 为了了解数学概念，势必要对互相联系着的概念进行对比，即进行外延与内涵之间的比较，对其相互之间的联系进行研究。本书介绍的数学中常见的联系，是以比较概念的外延为切入点并结合内涵之间的关系进行分析的。1.概念相容 两个概念的外延如果有一部分相同，则认定两个概念之间具有相容关系。相容关系有以下三种情况：（1）概念相同 两个概念的外延如果完全相同，则认定两个概念之间具有相同关系，这两个概念称为相同概念，相同关系可用图 1-1 表示。图 1-1 提出相同关
