1、2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷详解解答本试卷可以使用计算器一、 填空题（第15小题，每题8分，第610小题，每题10分，共90分） 1. 已知，则 15250 解： 即-47*3-18=123故 15250 2. 满足方程的所有实数对为 （-2，-1） 解：由题意知，故 可得3已知直角三角形ABC中，CD为的角平分线，则 CD=解：令CD=x 由面积正弦定理可知 故x=4 若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为 30解： 故 max= 305 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，A
2、C交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为解;6 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是 6.5 解：连接AO,OD,BO,OC 面积比如图2 所示且已知 7整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则 -2278 解：令 p=67a, q=67b, 可知 a+b=30由根与系数的关系可知， 设 故 p=67a=-22788. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为 解： 9
3、. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于 1/2 解: 连结 RQ，四边形APQR为平行四边形，易知 1=6S1+2S2 故 10设是整数，且能被9整除，则的最小值是 8 ，最大值是 23 解：易知 a+b+c被9除余2或5或8所以（a+b+c）min= 1+2+5=8（a+b+c）max= 9+8+6=23二、 解答题（每题15分，共60分）11 BDC相似于BCA情况（1）若 DC AC令DAC=,则BAC=BCD=2易知AC=CD=CD=AC=b显然 DC=AC矛盾（DC应小于AC）
4、情况（2）BCD=C又DCA=C故BCD=C=900在面积为4的直角三角形中，显然，等腰直角三角形周长最小证法如下：又 即 当且仅当成立所以12 这是一道技巧题 显然又 即e=3所以b+h, d+f, a+I 只能取14或3，因为14=5+9=8+6所以 a,e,i,b,h,d,f 必须使用数字1,2,9,5,8,6,3， c，g 只能取7,4故的最大值取734，不考虑旋转，图2是唯一合理填法13 将代入， 若有解， 当满足， 当满足14（1）显然 所以，100,2010是好数（2）161=7*23除以7的余数可以是0,1,2,4所以构造x、y时，最好让x+y除以7余3又是平方数可以令易知是好数又所以x+y不是好数，得证。
