1、2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(初二笫2试)一、选择题:(50分) 1.y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一个因式,则k的值是( ) (A)0; (B)-1;(C)1; (D)42.不等式0ax+54的整数解是1、2、3、4,则a的取值范围是( )(A)a-; (B)a-1;(C)-a-3; (B)x-2; (C)x-2; (D)x12600,所以购买20台VCD时应去甲商场购买.所以甲单位应到乙商场购买,B单位应到甲商场购买,C单位应到甲商场购买.22.(1)如图1,过点D作DGBC于G,过点A作AHBC于H,则DGAH,所以BDGBAH,又,BE=BC,所以DG=AH,S
2、BDE=SABC,同理SADF=SCEF=SABC所以SDEF=SABC-SADF-SCEF=SABC. (2)分别延长DP,FP交AF,AD于M,N,因为点P是ADF的三条中线的交点,所以M,N分别是AF,AD的中点,且DP=DM,过点P,M分别作DF的垂线,垂足分别为K,S,则DKPDSM,相似比为23,所以KP=SM,SPDF=SMDF,又SMDF=SADF,得SPDF=SADF.(3)由(2)知,SQDE=SBDE,SREF=SCEF,所以SPDF=SQDE=SREF=SABC.所以SPDQERF=SDEF+SPDF+SQDE+SREF=SABC.23.(1)由图2可以看出,n=1时,
3、最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,最多可以连结5条线段.(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条.证明: 将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,An和B1,B2,B3,Bn,设这n对点之间连结的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn条直线段外,还可以连结An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连结AnBn+1,An+1Bn+1,这两条线段.所以Pn+1Pn+2.另一方面,设对
4、于n+1对点有另一种连法:考虑图3中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个in,使得对于任意的ji,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,Bi+1,Bi+2,Bn+1只能与An+1连结,不妨设An+1Bi+1,An+1Bi+2,An+1Bn+1都已连结,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作:去掉An+1Bi,连结AnBi+1,得到新的连结图,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去,直到与An+1连结的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段 只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+2-2条线段,而图形恰是n对点的连结 图,所以Pn+1-2Pn.由此,我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3,所以Pn=1+2(n-1)=2n-1.(3)当n=2003时,P2003=4005(条).
