1、2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1.若ab,a,b,都是有理数,那么 ( ). (A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.2.已知abc,M=a2b+b2c+c2a,N=ab2+bc2+ca2,则M与N的大小关系是( ). (A)MN (C)M=N (D)不确定的3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ). (A)9时30分 (B)10时5分; (C
2、)10时5分 (D)9时32分4.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc0,那么a,b,c的大小关系是( ). (A)abc (B)cab; (C)acb (D)bca6.已知ABC中,A=60,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP 的长是( ). (A);(B);(C);(D)7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CEAB,ifCEM=40,then the value ofDME it( ). (A)150 (B)140 (C
3、)135 (D)1308.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG 分别平分BEC、DFC,若ADC=60,ABC=80,则EGF的大小是( ).(A)140 (B)130 (C)120 (D)110 9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,100时,得到100个分式(如i=5,则=),在这100个分式中,最简分式的个数是( ). (A)50 (B)58 (C)63 (D)6510.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种二、填空
4、题:(每小题6分,共60分)11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款_万元.12.化简,最后得_.13.设x,y都是有理数,且满足方程 ,那么x-y的值是_.14. 1516与3313的大小关系是1516_3313 . (填“”,“90,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.22.已知在等式中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: (1)当a,b,c,d满足什么
5、条件时,s是有理数; (2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数. 23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即与,称为第三次操作;照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,所以是有理数,选(A).2.M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+
6、c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) abc b-c0,c-a0 a2(b-c)0,b2(c-a)0,c2(a-b) 0 a2(b-c)+c2(a-b) b2(c-a) M-N0.选(B).3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位, (度/分钟) 分针转动速度是=6(度/分钟) 再成直角所用时间为(分钟) 所以下一次时针与分针成直角时间是分,选(D).4.由abc0知a、b、c均不为0.(ab+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0 ab+bc+ca=-(a2+b2+c+2)b;, cb,ac acb.选(C). 6.如图延长中线AP到E,
7、使PE=AP,连接EB,可得ABCAPC,E=PAC, BE=AC=b. PAB+E=CAB=60 ABE=120; 作EFAB延长线于F,EBF=180-120=60 BEF=300 BF=BE=b. 在RtBEF中,根据勾股定理:EF2=b2+. 在RtAEF中,根据勾股定理:AE=. PA=AE=. 选(B) 7.如图,连接CM,作MNEC于N. ABCE MNAB,且MNCD,从N为梯形AECD的中位数. 由MNCE,MN是EC边中线,EMC为等腰, ECM=MEC=40EMC=180-240=100 ECD=AEC=90,MCD=90-40=50, 又 DC=AD=DM,MCD=DM
8、C=50, EMD=EMC+CMD=100+50=150.选(A) 8. 24=360-(60-E)-(180-F) =220+E+F 4=110+E+F,C=3600-(4+2+3)=3600-1100-E-F-600+E-800+F =360-110-60-80=110 选(D). 9.当i=3n(n33);i=13n(n7);i=17n(n5)这些数时;不是质数, 这样的数共有: 33+7+5=45(个) 其中i=133=39,i=136=78与i=173=51时,与i=3n中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个. 所以100个分式中最简分式的个数是100-4
9、2=58个. 选(B).10. x3=2002=1271113,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 112002 121001 17286 111182 113154 114143 12291 12677 27143 71126 11291 13277 141113 22713 选(C).二、11.设每年至少应吸收存款x万元, x=1500万元 应填1500.12.原式= = =.13., ,得 x-y=18.14.1516-3313=316516-3131113=313(3556-1113)=313(3353513-1113)=313(15353-1113) 显然,15
10、3513-11130, 1516-33130, 填.15. =53+3522+33(2)2+(2)3 =125+150+360+48=485+198. 当取2.449时,原式=969.9,N=969. 16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b) a+b=0 原式=4+2a+2b+ab+b2=4+2（a+b）+ab+b2=4+ab+b2=4+b(a+b)=4.应填417. 因为 , , 设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,a+b+c+d=,m=,m=n,即a+b+c+d=e+f+g+h=. 18.根据题意,得 应填39.519.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图: 如图1.由A=40,得ABH=50 =40,BHC=180-=140 如图2.由A=40,得=50 r=50 BHC=90-r=90-50=40 应填140或40.20.正九边形内角和为(9-2)1800=12600,每个内角为1400, CAB=(1800-1400)2=200连接AH,作HM,GN分别垂直AE于M,N. HAM=140-2 20-40=60,AHM=30 设AM=EN=x,MN=y 四边形HGNM是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y, 在RtAHM中,AHM=30 AH=2AM=2x AB+AC=y+2x 而x+y
