1、希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题一、选择题，以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的1.设x0是方程的一个不为1的根,则 Ax02x0x20. Bx20x02x0. Cx202x0x0. D2x0x20x02设a是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a除64的余数是4；用a除155的余数是5；用a除187的余数是7则a属于集合 A.3,4,6; B.7,8,9; C.10,15,20; D.25,30,353某位同学在代数变形中，得到下列四个式子：(1);(2)当x=2时,分式的值均为0;(3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xnx-3xn+xn=xn;(4)99972=
2、(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9=99940009其中正确的个数是 A1个.B2个. C3个D4个.4A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是 AC队BD队. CE队DF队 5如图31，已知等边ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么BDE的周长是 A.5+2; B.5+; C.3+2; D.3+.6如图32，在ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，A
3、C=b，则m+n与b+c的大小关系是 Am+nb+c. Bm+n=b+c . Cm+nb+c. Dm+nb+c或m+nb+c7两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成n个不同形状的四边形，则n的值为 A3.B4. C5.D6.8四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形一定是 A两组角分别相等的四边形. B平行四边形.C对角线互相垂直的四边形. D对角线长相等的四边形.9已知a，b，c为三个连续奇数(abc，且它们均为质数，那么符合条件的三数组(a，b，c)有 A0 组. B1组. C2组. D多于2组.10.在边长为
4、的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足 A.; B.; C.; D.二、填空题1 计算：199519941994+199619951995-199419951995-199519961996=_2 直角三角形的周长是2+,斜边的中线长为1,则它的面积为_.3若x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，且2a2+3ab+b20,则分式 的值为_.4.设x表示不大于x的最大整数,如=3,则=_.5如图33,在菱形ABCD中,B=EAF=60，BAE=20，则CEF的大小是_6若ABC的三条边a，b，c满足关系式：a
5、4+b2c2-a2c2-b4=0，则ABC的形状是_7若不等式3x-a0的所有正整数解的和是15，则a的取值范围是_8.如图34，ABC中，ABAC，AHBC，M为AH上异于A的一点，比较AB-AC与MB-MC的大小，则AB-AC_MB-MC(填“”，“=”或“”9方程x2-y2=1995的正整数解共有_组10设x，y是不大于10的自然数，x除以3的余数记为f(x)，y除以4的余数记为g(y)当f(x)+2g(y)=0时，x+2y的最值是_三、解答题1(1)已知a1，a2，a3为三个整数，且a1a2a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组(a1，a2，a3)(2)如果a
6、1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1a2a3a4a5a6，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)共有多少组？请说明理由2一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G的风景点(如图35)现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件：(a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点(b)每条汽车线路只连结3个风景点(c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点(1)该旅游区应开设几条公共汽车线路？(2)若风景点，在一条线路上，则该公共汽车线路写成ABC试写出该旅游区完整的公共汽车线路图答案提示一、选择题
7、提示：2据题意，a可整除60，150，180故a是60，150，180的最大公约数，a=30，选(D)3显然式不成立；在式中，当x=-2时，分母为0，故式不成立；当x=0时，式不成立；只有式成立故选(A)4每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场(即与A队赛过)，所以E队还没有与B队赛过选(C)5ABC的周长为6，AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又ACB=CDE+CEDCED=30，BDE为等腰三解形,DE=BD=6如图36，在BA的延长线上取AF=AC，连接PF，在APC和APF中，AC=AF，CAP=FAP，AP=APAPCAPF，
8、PC=PFm+n=BP+PC=BP+PFBF=BA+AF=BA+AC=c+b故选(A)7如图37，可拼成4个不同的四边形，故选(B)8由已知得(a-b)2+(c-d)2=0.a=b，c=d如图38，四边形是由两个同底等腰三角形拼接而成，故两条对角线互相垂直，故(C)93，5，7是三个连续奇数，且均为质数，3，5，7为符合条件的三数组，若a3且a为质数，则a可分为被3除余1或2的两类若a=3m+1，m为自然数，则b=a+2=3m+3为合数若a=3m+2，m为自然数，则c=a+4=3m+6也是合数，故当a3时，没有符合条件的三数组，故选(B)角形中，根据抽屉原则，则至少有一个三角形中有两个点那么这
9、两个点与正方形中心连成的三角形二、填空题提示：1199519941994+199619951995-199419951995-19951961996=1995199410001+1996199510001-1994199510001-1995199610001=02RtABC斜边上的中线长为1，斜边3x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式，根据余数定理知，f(-2)=0即(-2)3+(-2)2-2a+b=0，b-2a=4原式=13+25+37+49+511+613+715+817+919+10=6255如图40，连接AC，在ABE和ACF中AB=AC，B=60=ACF，BAE=CAF=6
10、0-EACABEACF，AE=AF，又EAF=60于是可知AEF是等边三角形，AEF=60，CEF=CEA-AEF，CEA=B+BAE=80，CEF=206将a4+b2c2-a2c2-b4=0因式分解得(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a2-b2=0或a2+b2-c2=0ABC为等腰三角形或直角三角形即15a188AHBC，有AB2=AH2+BH2，AC2=AH2+HC2AB2-AC2=BH2-HC2又MHBC，同理有MB2-MC2=BH2-HC2AB2-AC2=MB2-MC2即(AB+AC)(AB-AC)=(MB+MC)(MB-MC)
11、又M点在ABC内，AB+ACMB+MC则AB-ACMB-MC9由x2-y2=1995得(x+y)(x-y)=1995，其中x+y，x-y分别为1995的两个约数，且x+yx-y，又1995=35719，所以1995的正约数的个数有2222=16个，共可分成8组，即：10x除以3的余数有三种，即余0，余1，余2y除以4的余数有四种，即余0，余1，余2，余3当f(x)+2g(y)=0时，只有f(x)=0且g(y)=0， x最大取9，y最大取8，x+2y的最大值是25三、解答题1(1)由题意知a1=a2a3，a2=a1a3，a3=a1a2，三式相乘得a1a2a3=(a1a2a3)2a1a2a3=0或
12、a1a2a3=1即a21=0或a21=1a1=0或a1=1或a1=-1当a1=0时，a2=a3=0当a1=1时，a2=a3=1当a1=-1时，a2=-1，a3=-1共有三个这样的三数组(0，0，0)，(1，1，1)，(-1，-1，-1)(2)取a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值并按大小顺序排列，不妨设为0b1b2b3b4b5b6，则b1，b2，b3，b4，b5，b6也满足题意要求若b1=0，则b2，b3，b4，b5，b6中至少有一个为0，即b2=0由于b1=b2=0，b3=b4=b5=b6=0，a1=a2=a3=a4=a5=a6=0若b10，则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5
13、b6b2b3b4b5b1b2b3b4b5又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4b2b3b4b5b1=b2=b3=b4=b5=b6，b1=b41，b1=1即a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值均为1，它们只能是+1或-1i)a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件ii)若a1，a2，a3，a4，a5，a6中有-1，则最少有2个-1，最多有5个-1即(-1，-1，1，1，1，1)，(-1，-1，-1，1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，-1，1)均符合条件符合条件的数组共有6组2(1)应开设7条公共汽车线路由A点至其它6个风景点，其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点，所以经过(2)7条公共汽车线路如下：ABC，AEG，ADF，BDE，BFG，CDG，CFE(注：答案不唯一)从几何图形考虑(图41)，将A，B，C看作三角形的三个顶点，D，E，F分别为三角形三边的点，且AD，BE，CF相交于一点G，再作DEF的外接圆，这样7条线路也就连成了AGD，AFB，AEC，BDC，BGE，CGF，DEF
