1、2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）复数（）2=（）A34i B3+4i C34i D3+4i 2（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）3（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 4（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35
2、 5（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|x2，或 x3 Bx|x2，或 1x3 Cx|2x1，或 x3 Dx|2x1，或 1x3 6（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 7（5 分）为了得到函数 y=sin（2x）的图象，只需把函数 y=sin（2x+）的图象（）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 8（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=
3、，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+9（5 分）已知正四棱锥 SABCD 中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1 B C2 D3 10（5 分）若曲线 y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则 a=（）A64 B32 C16 D8 11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 12（5 分）已知椭圆 T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若=3，则
4、k=（）A1 B C D2 二、填空题（二、填空题（共共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 20 分）分）13（5 分）已知 a 是第二象限的角，tan（+2）=，则 tan=14（5 分）若（x）9的展开式中 x3的系数是84，则 a=15（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=16（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=三、解答题（三、解答题（共共
5、6 小题，小题，满分满分 70 分）分）17（10 分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求 AD 18（12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=（n2+n）3n（）求；（）证明：+3n 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1的大小 20（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，
6、T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立 已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 21（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1，3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 22（12 分）设函数 f（x）=1ex（）证明：当 x1 时，f（x）；（）设当 x0 时，f（x），求 a 的取值范围
7、2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，满分满分 60 分）分）1（5 分）复数（）2=（）A34i B3+4i C34i D3+4i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果【解答】解：（）2=2=（12i）2=34i 故选：A【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没
8、有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分 2（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】从条件中中反解出 x，再将 x，y 互换即得解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换位，2、解：解出 y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】解：由原函数解得 x=e 2y1+1，f1（x）=e 2x1+1，又 x1，x10；ln（x1）R在反函数中 xR，故选：D【点评】求反函数
9、，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=（y）；（2）交换 x=（y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）3（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时，从而得到 m 值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点，
10、即为 B（1，1），当 x=1，y=1 时 zmax=3 故选：C 【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题 4（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28 故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质 5（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|x2，或 x3 Bx|x2，或 1x3 Cx|2x1，或 x3 Dx|2x1
11、，或 1x3 【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】解，可转化成 f（x）g（x）0，再利用根轴法进行求解【解答】解：（x3）（x+2）（x1）0 利用数轴穿根法解得2x1 或 x3，故选：C【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题 6（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】
12、本题是一个分步计数问题，首先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从 3 个信封中选一个放 1，2，有=3 种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6 种放法，共有 361=18 故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列 7（5 分）为了得到函数 y=sin（2x）的图象，只需
13、把函数 y=sin（2x+）的图象（）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】先将 2 提出来，再由左加右减的原则进行平移即可【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x）=sin2（x），所以将 y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到 y=sin（2x）的图象，故选：B【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移平移都是对单个的 x 来说的 8（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=，=，|=1，
14、|=2，则=（）A+B+C+D+【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】由ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD 为角平分线，故选：B【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线，则 AB：AC=BD：CD 9（5 分）已知正四棱锥 SABCD 中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1 B C2 D3 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：
15、压轴题【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【解答】解：设底面边长为 a，则高 h=，所以体积V=a2h=，设 y=12a4a6，则 y=48a33a5，当 y 取最值时，y=48a33a5=0，解得 a=0 或a=4 时，当 a=4 时，体积最大，此时 h=2，故选：C【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法是中档题 10（5 分）若曲线 y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则 a=（）A64 B32 C16 D8 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分
16、析】欲求参数 a 值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=a 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式从而问题解决【解答】解：y=，k=，切线方程是 y=（xa），令 x=0，y=，令 y=0，x=3a，三角形的面积是 s=3a=18，解得 a=64 故选：A【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力 11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】由于点 D、B1显然满足要求，猜想 B1D 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为 1，连接 B1D，并在 B1D 上任取一点 P，因为=（1，1，1），所以设
