1、2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1（5 分）设集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则 M中元素的个数为（）A3 B4 C5 D6 2（5 分）=（）A8 B8 C8i D8i 3（5 分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=（）A4 B3 C2 D1 4（5 分）已知函数 f（x）的定义域为（1，0），
2、则函数 f（2x+1）的定义域为（）A（1，1）B C（1，0）D 5（5 分）函数 f（x）=log2（1+）（x0）的反函数 f1（x）=（）A B C2x1（xR）D2x1（x0）6（5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）B C3（1310）D3（1+310）7（5 分）（1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是（）A5 B8 C12 D18 8（5 分）椭圆 C：的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）A B C D 9（5 分）若
3、函数 f（x）=x2+ax+是增函数，则 a 的取值范围是（）A1，0 B1，+）C0，3 D3，+）10（5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A B C D 11（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2），过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则 k=（）A B C D2 12（5 分）已知函数 f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）Ay=f（x）的图象关于（，0）中心对称 B C Df（x）既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：二、填空题：本大题共
4、本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分分.13（5 分）已知 是第三象限角，sin=，则 cot=14（5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种（用数字作答）15（5 分）记不等式组所表示的平面区域为 D若直线 y=a（x+1）与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 16（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径，则球 O 的表面积等于 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn已知 S3=a22，且 S1，S2
5、，S4成等比数列，求an的通项式 18（12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB与PAD 都是等边三角形（）证明：PBCD；（）求二面角 APDC 的大小 20（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）X 表示前 4 局中
6、乙当裁判的次数，求 X 的数学期望 21（12 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为（I）求 a，b；（II）设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 22（12 分）已知函数（I）若 x0 时，f（x）0，求 的最小值；（II）设数列an的通项 an=1+2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题
7、：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1（5 分）设集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则 M中元素的个数为（）A3 B4 C5 D6 【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用已知条件，直接求出 a+b，利用集合元素互异求出 M 中元素的个数即可【解答】解：因为集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，所以 a+b 的值可能为：1+4=5、1
8、+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以 M 中元素只有：5，6，7，8共 4 个 故选：B【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力 2（5 分）=（）A8 B8 C8i D8i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【分析】复数分子、分母同乘8，利用 1 的立方虚根的性质（），化简即可【解答】解：故选：A【点评】复数代数形式的运算，是基础题 3（5 分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），则=（）A4 B3 C2 D1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利
9、用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3 故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键 4（5 分）已知函数 f（x）的定义域为（1，0），则函数 f（2x+1）的定义域为（）A（1，1）B C（1，0）D 【考点】33：函数的定义域及其求法菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】原函数的定义域，即为 2x+1 的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0），12x+10，解得1x 则函数 f（2x+1）的定义域为 故选：B【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意
10、变量范围的转化，属简单题 5（5 分）函数 f（x）=log2（1+）（x0）的反函数 f1（x）=（）A B C2x1（xR）D2x1（x0）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】把 y 看作常数，求出 x：x=，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数注意反函数的定义域【解答】解：设 y=log2（1+），把 y 看作常数，求出 x：1+=2y，x=，其中 y0，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化 6（5 分）已知数列an满足 3an
11、+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）B C3（1310）D3（1+310）【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0 数列an是以为公比的等比数列 a1=4 由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 7（5 分）（1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是（）A5 B8 C12 D
12、18 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令 x 的指数为 2，写出出展开式中 x2的系数，第二个因式 y2的系数，即可得到结果【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为 Tr+1=C3rxr 令 r=2 得到展开式中 x2的系数是 C32=3，（1+y）4的展开式的通项为 Tr+1=C4ryr 令 r=2 得到展开式中 y2的系数是 C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是：36=18，故选：D【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展
13、开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的 8（5 分）椭圆 C：的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）A B C D 【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆 C：可知其左顶点 A1（2，0），右顶点 A2（2，0）设 P（x0，y0）（x02），代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出【解答】解：由椭圆 C：可知其左顶点 A1（2，0），右顶点 A2（2，0）设 P（x0，y0）（x02），则，得=，=
14、，=，解得 故选：B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键 9（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+是增函数，则 a 的取值范围是（）A1，0 B1，+）C0，3 D3，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】由函数在（，+）上是增函数，可得0 在（，+）上恒成立，进而可转化为 a2x 在（，+）上恒成立，构造函数求出2x 在（，+）上的最值，可得 a 的取值范围【解答】解：在（，+）上是增函数，故0 在（，+）上恒成立，即 a2x 在（，+）上恒成立，令 h（x）=2x，则 h（x）=2，当 x
15、（，+）时，h（x）0，则 h（x）为减函数 h（x）h（）=3 a3 故选：D【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档 10（5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A B C D 【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用【分析】设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，CD 与平面 BDC1所
16、成角为，则 sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则 D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，2，1），设 CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|=，故选：A【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键 11（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2），过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若，则 k=（）A B C D2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0
