1、2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分分 1（5 分）已知集合 A=x|1x2，B=x|0 x3，则 AB=（）A（1，3）B（1，0）C（0，2）D（2，3）2（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A4 B3 C3 D4 3（5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C2006
2、年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4（5 分）=（1，1），=（1，2）则（2+）=（）A1 B0 C1 D2 5（5 分）已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（）A5 B7 C9 D11 6（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A B C D 7（5 分）已知三点 A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A B C D 8（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损
3、术”执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A0 B2 C4 D14 9（5 分）已知等比数列an满足 a1=，a3a5=4（a41），则 a2=（）A2 B1 C D 10（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（）A36 B64 C144 D256 11（5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOP=x将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x的函数 f（x），则
4、y=f（x）的图象大致为（）A B C D 12（5 分）设函数 f（x）=ln（1+|x|），则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围是（）A（，）（1，+）B（，1）C（）D（，）二、填空题二、填空题 13（3 分）已知函数 f（x）=ax32x 的图象过点（1，4）则 a=14（3 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为 15（3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为 y=x，则该双曲线的标准方程是 16（3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1相切，则 a=三解答题三解答题 17ABC 中，D 是 BC 上的
5、点，AD 平分BAC，BD=2DC（）求（）若BAC=60，求B 18某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数 2 8 14 10 6（1）做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等
6、级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 19（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4过 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 20椭圆 C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴
7、，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 21设函数 f（x）=lnx+a（1x）（）讨论：f（x）的单调性；（）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 四、四、选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22（10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点（1）证明：EFBC；（2）若 AG 等于O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形 EBCF 的面积 五、五、选修选修
8、4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（t 为参数，t0），其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=2sin，C3：=2cos（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 六、六、选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 24（10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要条件 2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）
9、（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分分 1（5 分）已知集合 A=x|1x2，B=x|0 x3，则 AB=（）A（1，3）B（1，0）C（0，2）D（2，3）【考点】1D：并集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|1x2，B=x|0 x3，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A4 B3 C3 D4 【考点】A1：虚数单位 i、复数菁优网版权所有【专题】5N：
10、数系的扩充和复数【分析】根据复数相等的条件进行求解即可【解答】解：由，得 2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则 a=4，故选：D【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础 3（5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8：频率分布直方图菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】A 从图中明显看出
11、2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故 A 正确；B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故 D 错误【解答】解：A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；B20042006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2
12、006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 故选：D【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题 4（5 分）=（1，1），=（1，2）则（2+）=（）A1 B0 C1 D2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题【解答】解：因为=（1，1），=（1，2）则（2+）=（1，0）（1，1）=1；故选：C【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目 5（5 分）已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，
13、则 S5=（）A5 B7 C9 D11 【考点】85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1 则 S5=5a3=5 故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A B C D
14、 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为111=，剩余部分体积为 1=，截去部分体积与剩余部分体积的比值为 故选：D 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积 7（5 分）已知三点 A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A B C D 【考点】J1：圆的标准方程菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析
15、】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论【解答】解：因为ABC 外接圆的圆心在直线 BC 垂直平分线上，即直线 x=1 上，可设圆心 P（1，p），由 PA=PB 得|p|=，得 p=圆心坐标为 P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|=，故选：B【点评】本题主要考查圆性质及ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键 8（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A0 B2 C4 D14 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型；5
16、K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当 a=b=2 时不满足条件 ab，输出 a 的值为 2【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18 满足条件 ab，不满足条件 ab，b=4 满足条件 ab，满足条件 ab，a=10 满足条件 ab，满足条件 ab，a=6 满足条件 ab，满足条件 ab，a=2 满足条件 ab，不满足条件 ab，b=2 不满足条件 ab，输出 a 的值为 2 故选：B【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题 9（5 分）已知等比数列an满足 a1=，a3a5=4（a41），则 a2=（）A2 B1 C D 【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a3a5=4（a41），=4，化为 q3=8，解得 q=2 则 a2=故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题 10（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最
