1、北京高校数学教育发展研究中心 数学教育与教育数学研究丛书 第三届（2017）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦 北京高校数学教育发展研究中心 主编 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 首届（2015）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦 IV未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 第三届（2017）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦北京高校数学教育发展研究中心主编北京：电子工业出版社，2018.4（北京高校数学教育发展研究中心数学教育与教育数学
2、研究丛书）ISBN 978-7-121-33904-2.第 .北 .高等数学课程设计高等学校 .O13 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2018）第 056148 号 策划编辑：米俊萍责任编辑：杨秋奎 特约编辑：曲 岩印刷：装订：出版发行：电子工业出版社北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7201 000 1/16 印张：11.75 字数：180 千字 版 次：2018 年 4 月第 1 版 印 次：2018 年 4 月第 1 次印刷 定 价：88.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（0
3、10）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至，盗版侵权举报请发邮件至。本书咨询联系方式：。前 言 为推动高等学校大学数学课程教学改革，鼓励教师将信息技术与教育教学内容紧密融合，促进教师更新教学理念、改进教学方法、创新教学设计、加强教师基本技能的训练、促进教师牢固树立爱岗敬业思想、磨炼教师教学内功、提升课堂教学水平、提高大学数学课程教学质量、落实教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会（以下简称教指委）工作要求，为教指委和高等学校教学研究中心共同主办的全国高校数学微课程教学设计竞赛推选选手，北京高校数学教育发展研究中心于 2017 年37 月举办了“第三届（2017）北京高校数学
4、微课程教学设计竞赛”活动。在北京市教委的大力支持下，在中心专家组和全体成员的共同努力下，本次比赛活动取得了圆满的成功。参赛教师通过教学设计、课堂录像、课件制作等环节充分展示了北京地区高校广大数学教师的教学理念、教学实力、教学水平和教学风采。本次大赛为广大一线数学教师提供了充分展示自己课堂教学成果及教师基本功综合素质的舞台，诠释了全新的大学数学教学改革的理念，交流了最新的教育教学改革成果，对全面提升高校数学教师的教学水平和业务素质起到了极大的促进作用。教师的天职是教学，提高教育教学质量是学校永恒的主题，提高课程教学质量是提高教育教学质量的关键，而提高课程教学质量需要抓好教学基本技能的训练。为了方
5、便老师们借鉴学习、加强交流和发挥优秀竞赛成果的辐射作用，经过专家的认真评审和讨论，最后从 72 件参赛作品中选择 32 件优秀作品结集出版。由于编辑工作量较大、时间紧，且编者水平有限，如有不当之处，敬请作者和读者指正。北京高校数学教育发展研究中心 2017 年 12 月 第三届（2017）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦 IV 目 录 第一型曲线积分的计算法 周广艳（1）函数展开成泰勒级数的充要条件 鞠红杰（4）初等矩阵 夏伶莉（9）等周不等式 刘白羽（26）投掷项目的最佳出手角度 李翰君（36）违约概率损失的后验极大似然估计 刘洪伟（39）由泊松分布到指数分布 王丹龄（46）定积分
6、在几何学上的应用 张智勇（51）假设检验原理 牟唯嫣（63）假设检验原理 谢玉粉（68）极坐标系下面积的计算 夏 霞（71）导数的定义和几何意义 陈星玎（78）给药方案的确定 刘 芳（84）滑块游戏的可解性 宋诗畅（87）北京的二十环问题 李 娅（90）隐函数的求导法 吕 兴（96）二元函数的连续性 朱圣芝（102）数列极限的例子 曹丽梅（110）第三届（2017）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦 VI拉格朗日乘数法 杨卫星（116）偏导数 李 鹤（121）实对称矩阵的正交对角化 苏贵福（125）最大线性无关组与向量组的秩 师钦贤（131）悬链线及其方程 何 洋（140）闭区间连续函
7、数的零点存在定理 闫 浩（144）罗尔定理的证明 郭晓玲（149）函数最值的应用实例 廖 苏（153）线性相关、线性无关的概念 余爱梅（156）线性蛛网模型 常广平（160）初等矩阵的定义 叶 飞（167）t 分布与 F 分布 张赛茵（170）正态分布 冯 杰（172）从概率的角度探讨美国大选结果二项分布的应用 孙 妍（177）第一型曲线积分的计算法 周广艳 北京工商大学 作 品 标 题：第一型曲线积分的计算法 所 属 课 程：高等数学（下）相关知识点：第一型曲线积分的计算法 知识点编码：110103 授 课 对 象：本科一年级学生 授 课 时 长：12 分钟 参 考 文 献：同济大学数学系.
8、高数数学（上册）M.7 版.北京：高等教育出版社，2014.一、教学背景 第一型曲线积分是继定积分、重积分后的第三种积分。定积分之前研究的是定义在直线段上的函数的积分，现在研究的是定义在平面或空间曲线段上函数的积分。如何计算这种积分，是需要学生掌握的重要内容。二、教学目标 理解第一型曲线积分的含义，掌握计算第一型曲线积分的方法和技巧。第三届（2017）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦 2三、教学内容及重点难点分析（1）教学内容：第一型曲线积分的计算方法。（2）教学重点：如何将第一型曲线积分化为定积分来计算。（3）教学难点：如何恰当地将曲线参数化。四、教学方法和过程（1）问题引入：由定
9、义及弧微分公式，引入如何计算的问题。（2）问题转换：将第一型曲线积分转换为熟悉的定积分来计算。（3）深入理解：运用公式时需要注意的问题。（4）特殊情形：其他形式的曲线方程如何处理。（5）问题推广：由平面曲线推广至空间曲线。（6）举例演示：由例子演示求解过程。（7）总结练习：“一求、二代、三定限”的口诀。教学步骤 教学内容与互动 呈现方式 教学方法（1）问题引入：回忆第一型曲线积分定义、弧微分公式，提出如何计算的问题 01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 设曲线的参数方程如下：(),()xx ttyy t 则弧微分2222d(d)(d)()()dsxyxtytt 互动：能否用已经
10、学习过的定积分来计算第一型曲线积分 PPT 动态呈现第一型曲线积分的定义式、强调弧微分公式 引导发现、探究式教学（2）问题转换：将第一型曲线积分转化为定积分，给出计算公式 定理：设(,)f x y是定义在光滑曲线():,()xx tLyy t ,t 上的连续函数，则 22(,)d(),()()()dLf x ysf x ty txtytt 互动：这个公式的核心思想是什么 PPT 动态呈现计算公式及公式成立的条件 案例教学（3）深入理解：计算公式中的细节处理（1）注意定积分的积分区间满足“下小上大”的原则；（2）注意被积函数中的 x，y 之间彼此不独立。互动：思考运用上述公式面临的困难和问题 P
11、PT 呈现转化后定积分的特点及被积函数的特点 探究式教学 第一型曲线积分的计算法 3 续表 教学步骤 教学内容与互动 呈现方式 教学方法（4）特殊情形：曲线参数方程的形式有哪些 除了参数方程，如果 L 是直角坐标方程和极坐标方程，公式依然成立（1）:(),L yg x axb 2(,)d(,()1()dbLaf x ysf x g xgxx（2）:(),L rr 22(,)d()cos,()sin)()()dLf x ysf rrrr 互动：具体情况具体解决 PPT呈现、不同坐标系下曲线的方程形式不同 探究式教学、引导教学（5）问题推广：由平面到空间的推广 设空间曲线的参数方程为:(),(),
12、(),xx tyy tzz tt，则 222(,)d(),(),()()()()df x y z sf x t y t z txtytzt t PPT呈现、万变不离其宗，公式依然成立 引导发现（6）举例演示：由例子来强化运用 例例 1：计算dLy s，其中 L 是抛物线2yx上点 O(0,0)与点 B(1,1)之间的一段弧。例例 2：计算曲线积分222()dxyzs，其中，:cos,sin,(02)xat yat zktt 为螺旋线。互动：总结运用思想，找寻其他参数化方法 PPT 动态呈 现 计 算过程 教学运用、强调思想及应用方法（7）总结规律 总结出便于计算的口诀“一求、二代、三定限”。互
13、动：课后练习题 PPT 动态呈现、利用口诀强化理解、记忆 引导发现 五、教学总结 本次课以教师为主导，通过回顾知识把握对第一型曲线积分的计算方法与技巧。在授课过程中启发学生总结规律，培养学生的抽象思维能力与计算能力，条理清晰，演示生动。函数展开成泰勒级数的充要条件 鞠红杰 北京邮电大学 作 品 标 题：函数展开成泰勒级数的充要条件 所 属 课 程：高等数学 相关知识点：泰勒公式，函数展开成幂级数，近似计算 知识点编码：121002 授 课 对 象：本科一年级学生 授 课 时 长：11 分钟 46 秒 参 考 文 献：1 同济大学.高等数学.（下册）M.7 版.北京：高等教育出版社，2014.2
14、 Finney W G.ThomasCalculusM.叶其孝，王耀东，唐兢，译.北京：高等教育出版社，2004.一、教学背景 学生前面学习了泰勒公式，泰勒公式讲述了针对在某邻域内有 n+1阶导数的函数，可以在该邻域内展开为一个 n 次泰勒多项式加上余项。那么对于具有各阶导数的“好”函数，泰勒多项式可以一直写下去，得到一个幂级数，此时泰勒公式中的等式是否依然成立？我们从该问题出发探讨函数展开成泰勒级数的充要条件。函数展开成泰勒级数的充要条件 5 二、教学目标 1知识层面（1）理解：泰勒级数的概念。（2）掌握：函数展开成泰勒级数的充要条件，并利用充要条件将函数展开成泰勒级数。（3）了解：泰勒级数
15、在近似计算中的应用。2能力方面（1）通过图像演示，培养学生的观察能力。（2）培养学生逐层递进思考问题、分析问题并解决问题的能力。3认知方面（1）让学生体会到数学无处不在，比如小小的数学用表里面蕴藏了莫大的数学问题。（2）通过举反例，让学生意识到“直观感觉”有时候是不对的。三、教学内容及重点难点分析（1）教学内容：泰勒级数的概念及函数展开成泰勒级数的充要条件。（2）教学重点：采用启发式教学，引导学生逐步找到函数展开成泰勒级数的充要条件。（3）教学难点：理解函数展开成泰勒级数的充要条件，并利用该充要条件将函数展开成泰勒级数。第三届（2017）北京高校数学微课程教学设计竞赛优秀作品集锦 6四、教学方
16、法和过程 1教学过程及设计 教学内容 教学设计 教学时长 中学数学用表中的数是如何求得的？以三角函数为例进行观察。显然这是由某种近似计算求得的，进而联想到可以用于求近似计算的泰勒公式 由三角函数表为切入点，引入泰勒公式 3 分 7 秒 回顾泰勒公式：f（x）在某邻域 U（x0）有 n+1阶导数，那么在该邻域内，函数 f（x）在该邻域内可以展开为 n 次泰勒多项式加上 Lagrange 型余项。注意到三角函数在其有定义的点处有任意阶导数，那么，对于这种有任意阶导数的“好”函数，用泰勒公式做近似计算，会有什么现象发生 分析泰勒公式的条件，引入具有各阶导数的函数的泰勒公式 以正弦函数为例，探究泰勒多项式的近似情况。演示发现：泰勒多项式次幂越高，近似越好，可以近似的范围越广 通过图像演示，观察具有各阶导数的函数的泰勒多项式近似情况 提出问题：让泰勒多项式一直写下去，它的图像是否就在（-，+）上与正弦函数图像重合？这只是一个猜测，因为泰勒多项式一直写下去，将得到一个幂级数，而我们并不知道该幂级数是否收敛到 sin x。该幂级数称之为泰勒级数。给出一般的具有各阶导数函数的泰勒级数的概念 通过观察上
