1、 “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 普通高等教育电路设计系列规划教材 积分方程视角下函数空间 理论的历史 李亚亚 王 昌 编著 内 容 简 介 函数空间理论是泛函分析的重要内容，起源于对积分方程的求解和变分法的研究.希尔伯特在积分方程的研究中洞察到函数空间的相关理论.在用现代抽象术语表述希尔伯特思想的过程中，追随者们逐渐建立了抽象函数空间理论.本书在积分方程的视角下，对函数空间理论产生的背景、形成的原因、发展的过程进行了论述，着重探究了希尔伯特与其追随者们之间的思想传承.本书有助于更好地理解函数空间理论的历史发展进程，进而更全面地理解近现代数学思想.本书可供数学类专业的师生、科学史工作
2、者以及数学爱好者参考和学习.未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容.版权所有，侵权必究.图书在版编目(CIP)数据 积分方程视角下函数空间理论的历史/李亚亚，王昌编著.北京：电子工业出版社，2018.6 ISBN 978-7-121-34325-4 I积 II李 王 III函数空间 IVO177.3 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2018)第 111624 号 策划编辑：冯小贝 责任编辑：冯小贝 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：787980 1/16 印张：9.75 字数：159 千字 版 次：2018
3、 年 6 月第 1 版 印 次：2018 年 6 月第 1 次印刷 定 价：39.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换.若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888.质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 .本书咨询联系方式：.前 言 17 世纪，积分和微分同时得到进一步发展.由于自然科学中导出的方程大多数是微分方程而非积分方程，因此积分方程一般理论的建立比微分方程晚了近 200 年.直到 1896 年，沃尔泰拉才最早创立了积分方程的一般理论.1900 年到1903 年间，弗雷德霍姆推广了沃尔泰拉的方法，建立了其
4、积分方程理论.1901 年，希尔伯特得知弗雷德霍姆的这一工作后，立即着手研究积分方程.他在积分方程的研究中最早洞察到了函数空间的相关理论.希尔伯特在积分方程方面的工作第一次揭示出积分方程理论的真正意义，是他数学统一观思想的代表，对该领域后来的走向起到了引领作用.积分方程也成为 20 世纪初的研究热点之一.由于希尔伯特的数学成就以及对年轻学者的激励和帮助，使得他有一大批的追随者，他们以简化和阐述希尔伯特的工作为主要研究内容.在 20 世纪数学向着更高的抽象性和统一性发展的趋势下，顺应结构数学发展的潮流，在用现代抽象术语表述希尔伯特思想的过程中，这些追随者们逐渐建立了泛函分析中的抽象函数空间理论.
5、对函数空间理论的历史进行研究具有重要意义.首先，函数空间理论是泛函分析的重要内容，对其历史进行研究可以使我们更好地理解泛函分析的历史发展过程.其次，希尔伯特作为 20 世纪的领头数学家，他的数学思想博大精深.对其积分方程思想进行研究，有助于我们更好地理解希尔伯特的数学思想和近现代数学思想.最后，这一研究可以为积分方程和泛函分析的教学提供历史背景，使学生更深刻地理解相关数学知识.本书以希尔伯特的积分方程工作为切入点，梳理了 20 世纪之初的近 30 年间那些杰出数学家(希尔伯特、施密特、里斯、巴拿赫等)的工作，他们之间相互促进，从具体的积分方程到抽象的函数空间理论的研究全过程，展示了这个重要数学
6、分支从研究的初始阶段到发展成熟，再向更高层次延伸的历史脉络.本书表述清晰、论述有力、内容丰富，可作为数学类专业的高年级本科生 IV和研究生学习泛函分析和泛函分析史的参考用书，也可作为科学史工作者和数学爱好者的参考用书.感谢国家自然科学基金(11726019)以及西北大学科学史学科建设经费的资助.感谢电子工业出版社谭海平先生和冯小贝编辑对本书出版提供的帮助和建议.感谢导师曲安京教授的指导和帮助.写书期间还得到了家人和朋友的大力支持，在此对他们表示诚挚的谢意！尽管作者对书稿进行了多次校对，由于水平有限，不足之处在所难免，敬请各位读者批评指正.李亚亚 王 昌 2018 年 2 月于西安 目 录 第
7、1 章 弗雷德霍姆的积分方程理论 1 1.1 弗雷德霍姆积分方程思想的来源 1 1.1.1 沃尔泰拉的启发 2 1.1.2 科克的成果 4 1.2 弗雷德霍姆的积分方程理论 12 1.2.1 定义“系数行列式”13 1.2.2 讨论“系数矩阵的秩”15 1.2.3 分两种情形处理方程 17 第 2 章 希尔伯特对积分方程的早期探索 23 2.1 希尔伯特研究积分方程的原因 23 2.2 希尔伯特的特征值理论 26 2.2.1 希尔伯特的代数问题 26 2.2.2 定义特征值、特征函数 31 2.2.3 建立广义主轴定理 34 2.2.4 建立函数的展开定理 38 2.3 微分方程上的应用 40
8、 第 3 章 希尔伯特的一般理论 45 3.1 希尔伯特的目标 45 3.2 希尔伯特的谱理论 46 3.2.1 有限维的情形 47 3.2.2 定义点谱、连续谱 50 3.2.3 有界无穷二次型的谱分解 54 3.2.4 全连续概念的引入 56 3.3 谱理论在积分方程上的应用 59 VI第 4 章 希尔伯特空间的诞生 68 4.1 希尔伯特序列空间的建立 68 4.1.1 施密特的早期工作 69 4.1.2 希尔伯特序列空间的诞生 75 4.2 里斯-费舍尔定理的建立 80 4.2.1 勒贝格积分的建立 80 4.2.2 里斯的相关工作 90 4.2.3 费舍尔的相关工作 93 第 5 章
9、 抽象巴拿赫空间理论的开始 97 5.1 具体巴拿赫空间的发现 97 5.2 抽象算子理论的开端 103 5.3 紧算子理论的建立 106 5.4 巴拿赫空间理论的开始 111 5.4.1 巴拿赫空间的定义 111 5.4.2 巴拿赫空间上的算子 115 第 6 章 抽象希尔伯特空间理论的开始 120 6.1 抽象希尔伯特空间的定义 120 6.2 抽象希尔伯特空间的算子 126 人名列表 133 术语列表 136 参考文献 140 第 1 章 弗雷德霍姆的积分方程理论 17 世纪，积分和微分同时得到发展，由于自然科学中导出的方程大多数是微分方程而不是积分方程，因而积分方程一般理论的建立比微分
10、方程的晚了200 年.直到 1896 年，意大利数学家沃尔泰拉(Vito Volterra，18601940)才最早创立了积分方程的一般理论.1900 年到 1903 年间，瑞典数学家弗雷德霍姆(Ivar Fredholm，18661927)推广了沃尔泰拉的方法，运用科克(Helge Von Koch，18701924)关于无穷行列式展开的结果，建立了其积分方程理论，开启了积分方程研究的新时代.1.1 弗雷德霍姆积分方程思想的来源 1909 年，弗雷德霍姆(见图 1.1)在一次演讲中谈到他的积分方程思想来源于两个方面：(1)灵感来自沃尔泰拉的积分方程思想；(2)他的工作得益于科克关于无穷行列式
11、展开的成果.图 1.1 弗雷德霍姆 积分方程视角下函数空间理论的历史 2 1.1.1 沃尔泰拉的启发 数学物理中的问题产生了微分方程和积分方程.个别的包含积分方程的问题出现得比较早.1822 年，法国数学家傅里叶(Joseph Fourier，17681830)在关于热传导的研究中，引入函数()f x的积分变换+0()()cosdtf xtx x=当()x是一个给定函数时，寻找()f x的问题其实就是一个“反演问题”.他给出了反演公式 +02()()cosdf xxtx t=(1.1)1823年，挪威数学家阿贝尔(Niels Abel，18021829)将一个力学问题转化为在积分方程 0()d
12、()xyyf xxy=中如何确定未知函数()x的问题.他得到解 01()()dxf yxyxy=(1.2)同时他用()xy(01时，令0ma=，再运用克拉默法则求解由这k个方程构成的方程组，将得到的解记为()()()12,kkkkaaa?.接着他固定m并计算出()limkmka，再令()limkmmkaa=，由范德蒙行列式的性质可知 222()1235(21)8 24(44)kkakk=?从而有14a=，他还得到()1()2121kmkmammkmmka+=+积分方程视角下函数空间理论的历史 6 从而有 14(1)(21)mmam=由此，可以看出傅里叶已经有从有限维到无穷维过渡的思想，这是他这
13、一工作的重要性所在.与有限维线性方程组不同，无穷维线性方程组问题不再是一个单纯的代数问题.因为无穷这一属性，在处理无穷维线性方程组时，必须要考虑收敛性，但是令人遗憾的是，傅里叶在其工作中并没有考虑序列()kma的收敛性问题.傅里叶的工作之后，无穷维线性方程组在半个世纪里都无人问津，甚至在法国也没有人来研究这一课题.1886 年，美国天文学家和数学家希尔(George William Hill，18381914)在研究月亮运动时，考虑了这样一个微分方程 22d0duut+=(1.7)其中，012+2cos2cos2tt=+?.如果nn=，则ientn+=.希尔给出了微分方程(1.7)的一个级数解
14、 i()en c tnu+=其中，n为常数.他将这个级数解代入到微分方程中得到一个关于系数n的无穷维线性方程组 2()0,n kknncn+=+这个方程组比较复杂，因为相应的系数矩阵 210123422101232321012(1)(2)ccc+?在4个方向上都是无穷的.希尔利用类似于有限维情形中行列式作商的方第1章 弗雷德霍姆的积分方程理论 7 法，求出了这个无穷维线性方程组的解，在这里他引入了无穷行列式及其运算.但是同样遗憾的是，希尔仍然没有考虑因无穷这一属性而产生的收敛性问题.1905年，庞加莱(Jules Henri Poincar，18541912)这样评述希尔的工作：“谁敢直接令这
15、些方程的行列式等于零呢？希尔敢这样做，这是一个非常大胆的举动.当时没有人研究过由无穷多个方程构成的方程组，也没有人研究过无穷阶的行列式.甚至都没有人知道如何来定义无穷阶的行列式，也不能对这一概念赋予明确的意义.不过，为了说得更充分些，我必须指出M.Ktteritzsch曾接触过无穷维线性方程组这个课题但是他的论文在科学界几乎无人知晓，无论如何希尔是不知道的 但是光有勇气是不行的，必须要成功证明才行.希尔成功避免了困扰他的所有难题，这使得没人能说他的方法有非常明显的错误.如果方法是不合理的，他会立刻意识到，因为他已经做到了用数值计算而不是用观察来获得结果，这两者可是完全不同的.”受到希尔工作的鼓
16、舞和启发，庞加莱开始对无穷维线性方程组这一课题感兴趣，并对此进行了研究.他考虑了无穷矩阵|,0,1,2,ijai j=?，其中1jja=.令 1213121232123111nnnnnnaaaaaaaaa=?如果极限limnn存在，他将其记为行列式，即lim=nn.他也指出行列式存在的充分条件是,|npn pn pa+=接着庞加莱指出如果用有界序列 jb来代替n中的第k列元素，则将得到的新行列式记为n，则lim=nn.庞加莱指出用克拉默法则可以给出无穷维线性方程组 积分方程视角下函数空间理论的历史 8 1jkkjka xb+=的唯一的有界解kx.最后，他又将其结果扩展到双重无穷维线性方程组,+jkkjka xbj+=上，不过仍然限制对所有的j，1jja=.在庞加莱之前，希尔的工作一直受人质疑，庞加莱的工作完善和扩展了希尔的工作.庞加莱在他的文章中指出：“经过我所做的这些工作，相信再没有人对希尔优美的方法有异议.”与傅里叶、希尔相比，庞加莱最早认识到无穷维线性方程组不再是一个单纯的代数问题，而是与收敛性有关，他也切实考虑了收敛性问题.庞加莱的工作是对无穷维线性方程组这一课题严格化处理的开
