1、 普通高等教育“十三五”规划教材 微分方程的数值解法与程序实现 基于 Proteus 仿真（第 3 版）华冬英 李祥贵 编著 内 容 简 介 本书从理论和实践出发，全面介绍求解微分方程的数值方法有限差分法，并简单地介绍有限元法.全书共 6 章，主要内容包括：预备知识、常微分方程的数值解法、抛物型偏微分方程的有限差分法、双曲型偏微分方程的有限差分法、椭圆型偏微分方程的有限差分法、有限元法简介等.本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码.本书可作为高等学校信息与计算科学、数学等专业的基础教材，也可供相关领域的工程技术人员学习和参考.未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之
2、部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 微分方程的数值解法与程序实现/华冬英，李祥贵编著北京：电子工业出版社，2016.6 ISBN 978-7-121-29254-5 I微 II华 李 III微分方程数值计算高等学校教材 IVO241.8 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2016)第 149354 号 策划编辑：王羽佳 责任编辑：周宏敏 特约编辑：曹剑锋 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871092 1/16 印张：14.25 字数：412 千字 版 次：2008 年 6 月第 1 版 201
3、6 年 7 月第 3 版 印 次：2016 年 7 月第 1 次印刷 印 数：2 000 册 定价：45.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254535。III前 言 在自然科学、工程技术甚至经济管理领域中的很多数学模型，其表现形式通常为常微分方程或偏微分方程的定解问题，如何有效地进行求解是非常关键的.这些微分方程定解问题的精确解通常是很难用解析的方法求得的，所以很大程度上要依靠数值求解.现
4、代计算技术软、硬件的发展为借助计算机的数值求解微分方程奠定了媒质基础，而真正高效地求解微分方程的定解问题则更需要坚实的数学理论和计算机编程实践基础，为此我们编写了这本教材.该教材具有如下特色：教材起点比较低，为了适应一般院校学生数学基础相对薄弱的特点，直到最后的两三章才使用变化较多的差分算子记号，使学生一开始就不被这些算子记号而束缚，而在经过前几章的学习、逐渐适应了常用的差商表示以后，再引入这些算子就显得很自然、也很有效了.在内容和描述上，我们尽可能地把复杂、深奥的数学理论用简单、通俗的语言和例子进行描述，把一些问题最本质的特点反映出来，让学生看得见、摸得着，“知其然”还“知其所以然”.通过一
5、些思路的描述，让学生了解各种方法的实际演化，从而明白算法改进的实际意义其实本质上就是追求更好、更优，让学生切实体会到这些理论的实际意义.国内的很多基础教材在微分方程的求解方面都侧重于传授理论知识，而实际上，我们认为微分方程数值求解的理论固然重要，而相应的编程实践同样重要.所以“两手都要抓，两手都要硬”，这就是我们既把理论知识又把编程算例写入教材的初衷.让学生从一开始就实实在在地进行编程，从模仿到独立完成.教材中的算例配上程序和结果是为了让学生能自己实践和对比，从而提高学生的实践操作能力.在配套的程序编写方面，我们采用 C 语言进行程序设计，主要是因为一般高等院校普遍开设过C 语言程序设计这门课
6、程，C 语言也是程序设计的主流高级语言.另外，C 语言数组从 0 开始编号的特点也正好与微分方程的数值计算理论中从 0 开始设置下标相匹配.此外，我们的程序设计也从简到难，从开始十几行的代码到后来百来行的代码，从开始简单的数组到后来文件数据的存储、读取，以及与 MATLAB 软件结合来画图，都遵循循序渐进的原则，让学生最后能系统地学会独立编程.本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码，请登录华信教育资源网（本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码，请登录华信教育资源网（http:/）免费注册下载，或扫描封底、章首和习题的二维码获取相关教学资源
7、。）免费注册下载，或扫描封底、章首和习题的二维码获取相关教学资源。全书共分 6 章，主要内容包括：第一章预备知识，介绍常用的差商近似及泰勒公式等；第二章常微分方程的数值解法，主要介绍常微分方程初值问题的有限差分方法，包括最经典的欧拉方法、龙格-库塔方法等，还介绍了差分法的相容性、稳定性及收敛性的概念，然后推广到求解二阶常微分方程的边值问题，为后面介绍偏微分方程定解问题的有限差分法打下基础；第三章抛物型偏微分方程的有限差分法，第四章双曲型偏微分方程的有限差分法，第五章椭圆型偏微分方程的有限差分法，本着从易到难的原则，以上 3 章分别介绍偏微分方程的 3 种标准方程在带不同初、边值条件下的差分解法
8、；最后第六章有限元法简介，主要介绍了有限元法的实际意义及简单的编程操作.IV本书可作为一般高等院校信息与计算科学专业的基础教材，也可供相关领域的工程技术人员学习和参考.教学中，可根据教学对象和学时等具体情况对书中的内容进行删减和组合，也可以进行适当扩展，参考学时为 4864 学时.本书第一章至第五章由华冬英编写，第六章由李祥贵编写，所有程序由李祥贵编写.全书由华冬英统稿.在本书的编写过程中，电子工业出版社的王羽佳编辑为本书的出版做了大量工作.在此一并表示感谢！由于时间紧促，作者学识有限，书中难免有疏漏及错误之处，恳请广大读者批评指正.编著者 2016 年 6 月 V目 录 第一章 预备知识 1
9、 第一节 微分方程的相关概念与分类 1 一、微分方程的相关概念 1 二、微分方程的分类 2 第二节 数值分析的工具 3 本章要求及小结 6 习题一 6 第二章 常微分方程的数值解法 7 第一节 欧拉（Euler）方法 8 一、欧拉方法 8 二、梯形方法 9 三、改进的欧拉方法 11 第二节 误差分析的相关概念 12 一、局部截断误差与相容性 12 二、稳定性 13 三、收敛性 14 四、收敛阶的数值意义 15 第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 15 一、泰勒级数方法 16 二、龙格-库塔方法 17 第四节 线性多步法 20 一、线性多步法 21 二、阿当姆斯方法 24 三、预估
10、校正方法 26 第五节 一阶方程组及高阶方程初值问题的解法 27 一、一阶方程组初值问题的解法 27 二、高阶方程初值问题的解法 29 第六节 两点边值问题的解法 30 一、打靶法求解两点狄利克雷边值问题 30 二、打靶法求解两点混合边值问题 32 三、差分法求解两点狄利克莱边值问题 33 四、差分法求解两点混合边值问题 36 第七节 高精度算法 39 一、理查德森（Richardson）外推法 39 二、紧差分方法 42 本章参考文献 43 VI本章要求及小结 43 习题二 44 第三章 抛物型偏微分方程的有限差分法 46 第一节 向前欧拉方法 46 一、向前欧拉格式 46 二、向前欧拉格式
11、解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析 48 三、数值算例 52 第二节 向后欧拉方法 55 一、向后欧拉格式 55 二、向后欧拉格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析 57 三、数值算例 57 第三节 Crank-Nicolson 方法 60 一、理查德森差分格式 61 二、Crank-Nicolson 差分格式 65 三、Crank-Nicolson 格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性分析 67 四、数值算例 68 第四节 高精度算法 69 一、理查德森外推法 70 二、紧差分方法 76 第五节 混合边界条件下的差分方法 80 一、几种差分格式的建立 81 二、差分格式稳定性的讨论 84 三、
12、数值算例 87 第六节 二维抛物型方程的交替方向隐格式 89 一、向前欧拉格式 90 二、Crank-Nicolson 格式 91 三、交替方向隐（ADI）格式 94 四、关于添加辅助项的说明 97 五、数值算例 100 第七节 二维抛物型方程的紧交替方向隐式方法 101 一、二维紧差分格式 101 二、紧交替方向隐格式 103 三、紧 ADI 格式的收敛性分析 105 四、数值算例 105 本章参考文献 106 本章要求及小结 107 习题三 107 第四章 双曲型偏微分方程的有限差分法 110 第一节 一阶双曲型方程的若干差分方法 110 一、精确解所具有的波的传播性质及对初值的局部依赖性
13、 110 VII二、迎风格式 111 三、一个完全不稳定的差分格式 113 四、蛙跳（Leapfrog）格式 113 五、Lax-Friedrichs 格式 115 六、Lax-Wendroff 格式 116 七、Beam-Warming 格式 116 八、隐格式的设计 117 九、Courant-Friedrichs-Lewy 条件 118 十、数值算例 119 十一、推广 120 第二节 二阶双曲型方程的显式差分法 122 一、三层显差分格式的建立 122 二、显格式的稳定性、收敛性分析 123 三、改进的三层显格式 126 四、数值算例 127 第三节 二阶双曲型方程的隐式差分法 128
14、 一、隐差分格式的建立 128 二、隐格式的稳定性、收敛性分析 130 三、数值算例 131 第四节 二阶双曲型方程的紧差分方法 131 一、紧差分格式的建立 131 二、紧差分格式的稳定性、收敛性分析 133 三、数值算例 135 第五节 二维双曲型方程的交替方向隐格式 135 一、显差分格式 135 二、交替方向隐格式 137 三、交替方向隐格式的稳定性、收敛性分析 140 四、二维抛物型方程交替方向隐格式的稳定性 142 五、数值算例 142 第六节 二维双曲型方程的紧交替方向隐式方法 143 一、二维紧差分格式 143 二、紧交替方向隐格式 145 三、紧交替方向隐格式的稳定性、收敛性
15、分析 146 四、二维抛物型方程紧交替方向隐格式的稳定性 148 五、数值算例 148 本章参考文献 149 本章要求及小结 150 习题四 150 第五章 椭圆型偏微分方程的有限差分法 155 第一节 五点菱形差分方法 155 VIII一、五点菱形格式 155 二、五点菱形格式的收敛性分析 159 三、数值算例 162 第二节 九点紧差分方法 162 一、九点紧差分格式 163 二、九点紧差分格式的收敛性分析 165 三、数值算例 170 第三节 混合边界条件下的差分方法 170 一、二阶差分格式 171 二、差分格式的收敛性分析 176 三、数值算例 176 本章参考文献 177 本章要求
16、及小结 177 习题五 177 第六章 有限元法简介 182 第一节 一个引例 182 一、常微分方程两点边值问题的等价形式 182 二、模型问题的有限元法 184 三、有限元法的编程 185 四、有限元法的收敛性分析 188 五、数值算例 189 第二节 变分原理与弱解 190 一、原问题的等价变分形式 191 二、Lax-Milgram 定理 192 第三节 有限元空间的构造 194 一、对区域 的剖分 194 二、三角形一次元 194 三、一次元的基函数与面积坐标 195 四、三角形二次元及其基函数 196 第四节 有限元法的实现 198 一、单元刚度矩阵及单元荷载 198 二、总刚度矩阵和总荷载的合成 199 三、边界条件的处理 200 四、数值算例 200 第五节 抛物型方程初边值问题的有限元方法 201 一、原方程的变分形式 201 二、用有限元法进行空间半离散 202 三、用差分法进行时间全离散 203 四、相关量的数值计算 203 五、编程时的一些说明 204 IX六、数值算例 204 本章参考文献 205 本章要求及小结 205 习题六 205 附录 A 二阶线性偏微
