1、 普通高等教育“十三五”规划教材 21世纪应用型本科规划教材 数 学 实 验 基于几何画板、基于几何画板、Excel 软件软件 郭李芢 主 编 吴志远 副主编 内 容 简 介 本书选择了数列极限、级数一致收敛、非线性方程近似解、定积分的黎曼和、空间曲面的建构、分形图形等内容，收集了“3N+1 问题”等名题、趣题资料。以几何画板、Excel 软件为实验工具，采取实验案例的形式，组织了 14 个验证性实验。每个实验案例都明确了实验目的、实验内容、实验思路、软件技术要点和实验设计，以方便学生实验，引导学生在探索和实践的过程中发现现象、总结规律、学习数学知识。力图使学生通过实验增强相关理论知识、提高实
2、践技能、培养创新能力、激发学习兴趣、提高学习积极性。本书可作为高等院校数学及理工科相关专业数学实验课程的教材，也可作为数学及理工科相关专业相关课程的实践课程用书，还可作为高校理工科学生学习几何画板使用技能的参考用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 数学实验：基于几何画板、Excel 软件/郭李芢主编.北京：电子工业出版社，2018.2 ISBN 978-7-121-33389-7 I数 II郭 III高等数学实验高等学校教材 IVO13-33 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2017）第 325738 号 策划编辑：王晓
3、庆 责任编辑：王晓庆 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：787980 1/16 印张：9.5 字数：243 千字 版 次：2018 年 2 月第 1 版 印 次：2018 年 2 月第 1 次印刷 定 价：36.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：(010)88254113，。前 言 作者于 2009 年秋2012 年秋期间承担钦州学院
4、20072010 级本科数学与应用数学专业“数学实验”课程的教学任务。在此期间，主编于 2010 年 7 月2012 年 9 月主持新世纪广西高等教育教学改革工程立项项目“基于弱数学功能工具软件的数学实验课程教学的研究与实践（2010JBG092）”的研究，对几何画板、Excel 等数学功能较弱的软件应用于数学实验的可能性和适应性，以及弱数学功能工具软件应用于数学实验课程教学的原则和方法，适宜弱数学功能工具软件实验课题的选择和设计等进行了探索。项目研究成果表明：利用几何画板、Excel 等弱数学功能工具软件进行数学实验教学是现实的、可行的。四届学生的数学实验教学实践也充分验证了这一结论。基于这
5、一点，本书作者选择了几何画板、Excel 等大众化软件作为数学实验工具，根据项目研究和教学实践中所获得的关于弱数学功能工具软件应用于数学实验课程教学的成果和经验，从国内众多高校“数学实验”课程所关注的数学专业基础课的理论和知识入手，选择了极限、方程的近似解、函数级数图像、定积分的黎曼和、曲线的绘制、空间曲面的建构、分形与迭代等内容。结合作者数学教学实践的体会，收集了“31N 问题”、“幸存者问题”等数学名题和趣题资料。按照案例教学法的特点，以实验案例的形式，组织 14 个验证性实验形成本书。本书以培养创新能力为目标，着眼于数学的学习方法，强调学生自主探索和实践。每个实验案例都明确了实验目的、实
6、验内容、实验思路、技术要点和实验设计，以方便学生实验，引导学生在探索和实践的过程中发现现象、总结规律、学习数学知识。同时注重知识性、技能性，关注趣味性；力图使学生通过实验，不仅能掌握相关理论知识，提高实践技能，培养创新能力，还能激发学习兴趣，提高学习积极性。本书有以下特色。（1）实验进入门槛低。本书从数学实验工具软件对读者创新意识和实践能力培养效果的影响出发，选择几何画板、Excel 等数学功能较弱的大众化软件作为工具，实验条件容易满足，软件基本使用容易掌握，入门时间成本低，可降低实验的难度，扩大读者受益面。（2）实验过程开放性好。本书从数学实验工具软件对实验过程开放性影响的视角出发，选择使用
7、几何画板、Excel 等软件进行数学实验工具软件，使实验过程更具开放性，实验中数学建构和问题解决过程更易呈现，使用者的创造性工作能力可得到更有效的锻炼，对读者创新意识和实践能力的培养有良好效果。（3）适应性强。本书内容紧扣高等数学、数学分析、解析几何等课程的基础理论和知识，IV以案例的形式组织验证性实验，着眼于数学的学习方法，强调读者自主探索和实践；可作为数学专业开设数学实验课程的教材，也可作为数学专业数学分析和解析几何等课程或其他理工科专业高等数学等课程的实践课程用书。由于作者水平有限，本书在编写和内容的组织上必定存在不足之处，敬请同行及读者批评指正。作 者 目 录 实验 1 圆周率的近似计
8、算 1 1.1 割圆术 1 1.2 韦达公式 5 1.3 级数方法 8 1.4 蒙特卡罗法 11 实验 2 极限 16 2.1 数列极限 16 2.2 自变量趋向的函数极限 19 2.3 自变量趋向 a 的函数极限 22 实验 3 迭代法求方程的近似解 28 3.1 简单迭代法求方程的近似解 28 3.2 牛顿切线法求方程的近似解 32 实验 4 函数级数图像 37 4.1 函数级数图像的绘制 37 4.2 函数级数一致收敛的几何意义 40 4.3 函数 f(x)及其麦克劳林级数图像的比较 44 实验 5 定积分的黎曼和 48 5.1 梯形面积的另类计算方法 48 5.2 定积分()dbaf
9、xx的黎曼和算法 50 实验 6 曲线的绘制 56 6.1 平面曲线的绘制 56 6.2 空间曲线的绘制 60 实验 7 空间曲面的构建 65 7.1 曲面绘制的基础网格工具 65 7.2 3D 坐标系的一种构建 68 7.3 曲面网状图的绘制 70 实验 8 旋转曲面的构建 74 8.1 任意曲线的绘制 74 VI8.2 旋转轴和曲线的映射 76 8.3 曲线绕轴旋转生成旋转曲面 77 8.4 由纬圆变动生成旋转曲面 82 实验 9 双曲抛物面的构建 85 9.1 抛物线和双曲线的基本画法 85 9.2 抛物线沿抛物线滑动构建双曲抛物面 90 9.3 双曲线沿抛物线滑动构建双曲抛物面 93
10、实验 10 笛沙格定理和帕斯卡定理的应用 96 10.1 笛沙格定理在平面与特殊曲面交线绘制方面的应用 96 10.2 帕斯卡定理在二次曲线绘制上的应用 100 实验 11 分形与迭代 105 11.1 二叉树的绘制 105 11.2 雪花曲线的绘制 108 11.3 勾股树的绘制 112 实验 12 数字规律的验证 116 12.1 黑白棋子问题 116 12.2 幸存者问题 118 12.3 “3N+1”问题 121 实验 13 数字规律的探索 124 13.1 数字怪圈 124 13.2“平方数对半和”128 实验 14 线性规划的求解 131 14.1 线性规划的求解 131 14.2
11、 线性方程组的求解 136 14.3 最短路问题的求解 139 参考文献 144 实验 1 圆周率的近似计算 圆周率 是一个重要的常数，从古人最初将 3 作为 的近似值，到利用大型计算机算出 的小数点后 1000 亿位，人们对 的研究持续了两千多年。了解 值的一些计算方法，是一件很有意义的事情。【实验目的】通过对割圆术、韦达公式、级数方法、蒙特卡罗法等计算圆周率的方法的使用，使读者掌握圆周率近似计算的若干方法，以及利用几何画板软件实现的技巧，并在使用中感受数学思想和数学方法的发展过程。1.1 割割 圆圆 术术 中国数学家刘徽利用圆内接正多边形求 的近似值，他的方法被后人称为割圆术。刘徽用割圆术
12、一直算到圆内接正 192 边形，得出精确到两位小数的 值。【实验内容】利用几何画板的迭代功能，绘制边数可变的圆内接正n边形和圆外切正n边形。当n逐渐增大时，正n边形的面积逐渐逼近圆的面积。通过计算正n边形面积与边心距平方的比，可算出圆周率的近似值。【实验思路】以点 A 为圆内接正n边形的中心，先作圆内接正n边形的一个顶点B，将B绕A旋转360/n，得到与B相邻的下一个顶点A。将B绕A旋转360/2n，得到与圆内接正n边形有共同中心A的圆外切正n边形的一个顶点B，B再绕A旋转360/n，即得到与B相邻的圆外切正n边形的下一个顶点B。以点B为原像、A为初像进行深度迭代，得到边数由参数n控制的正多边
13、形，再通过计算正n边形的面积，计算圆周率的近似值。【软件技术要点】1【标记角度】及【旋转】菜单项的使用。2深度迭代的方法。3参数选项的设置。数学实验基于几何画板、Excel 软件 2【实验设计】1单击【数据】菜单的【新建参数】，弹出新建参数对话框，将名称设为n、值设为 3、单位选择“无”，单击“确定”按钮设置新参数n=3。选定参数n=3，右击弹出快捷菜单，选择属性菜单项的“动画参数”选项卡，“新建动画”中的变化选择“离散的”，“键盘调节”选择“改变以：1 单位”，单击“确定”按钮（图 1.1-1）。图 1.1-1 2单击【编辑】菜单的【参数选项】，弹出参数选项对话框，将“单位”选项卡中的“角度
14、（度）”、“距离（厘米）”、“其他（斜率、比）”的精确度都设为十万分之一，选择应用于当前画板，单击“确定”按钮。3单击【数据】菜单的【计算】，弹出新建计算对话框，输入360/n（逐个输入3、6、0 后，单击“单位”下拉列表选择“度”，单击“”后将光标移到对话框外单击参数n），单击“确定”按钮，窗口即出现“360120n”；再单击【数据】菜单的【计算】，弹出新建计算对话框，输入360/2n，单击“确定”按钮，窗口即出现“360602 n”。4用画线工具画水平线段 AB，使点 A位于窗口较中央的位置。用选择工具选定 A、B两点，单击【度量】菜单的【距离】，得出 A、B 两点的距离。5用选择工具选定
15、点 A，单击【变换】菜单中的【标记中心】，将点 A标记为旋转中心；用选择工具选定“360120n”，单击【变换】菜单中的【标记角度】，将“360120n”标记为旋转角；用选择工具选定点 B，单击【变换】菜单中的【旋转】，弹出旋转对话框（图 1.1-2），“旋转参数”选择标记角度，旋转中心为 A，单击“旋转”按钮，得旋转像点 B；将像点 B的标签改为 A，用选择工具选定 A、A，用画线工具作线段 AA。6用选择工具选定“360602 n”，单击【变换】菜单中的【标记角度】，将“360602 n”标记为旋转角；用选择工具重新选定点 B，单击【变换】菜单中的【旋转】，弹出旋转对话框，“旋转参数”选择
16、标记角度，旋转中心为 A，单击“旋转”按钮，得旋转像点 B，用选择工具实验1 圆周率的近似计算 3 选定“360120n”，单击【变换】菜单中的【标记角度】，将“360120n”标记为旋转角，再单击【变换】菜单中的【旋转】，弹出旋转对话框，旋转参数选择标记角度，旋转中心为 A，单击“旋转”按钮，将点 B旋转得像点 B。7用选择工具依次选定 A、B和 A、B 两对点，单击【构造】菜单中的【射线】作射线 AB和 AB；用选择工具选定点 A和线段 AA，单击【构造】菜单中的【垂线】，作过 A且与线段 AA 垂直的直线 j；用选择工具选定射线 AB和直线 j，单击【构造】菜单中的【交点】，作射线 AB和直线 j 的交点C；用同样的方法作射线 AB和直线j的交点 D（图 1.1-3）。图 1.1-2 图 1.1-3 8选定除 A、A、B、C、D 这 5 个点以外的其余几何对象，单击【显示】菜单中的【隐藏对象】，隐藏其余几何对象，保留 A、A、B、C、D 这 5 个点。9用选择工具选定 B、A两点，单击【构造】菜单中的【线段】，作线段；用选择工具选定C、D 两点，单击【构造】菜单中的【线段】，作线
