1、第 卷第期 年月沧州师范学院学报 ，分离变量法在量子力学中的应用李燕（沧州师范学院 物理与信息工程系，河北 沧州 ）摘要：分离变量法是求解偏微分方程常用的方法之一，其核心思想是将一个涉及多个变量的偏微分方程化成几个偏微分方程或者常微分方程分别求解，使问题得到简化，最终得以解决在求解薛定方程、氢原子体系、自由粒子狄拉克方程等方面，分离变量法起到了化整为零、化难为易的作用梳理与总结的解题思路有益于量子力学课程初学者的理解与提升关键词：分离变量法；薛定谔方程；狄拉克方程；量子力学中图分类号：文献标识码：文章编号：（）数学物理方法在量子力学中的应用十分广泛，尤其是量子力学中的很多方程用到的是数学物理方
2、法，求解过程比较繁琐，也是学习中的难点在数学物理方法中，分离变量法适用范围最广，在量子力学的推理和计算过程中具有非常重要的作用本文首先介绍利用分离变量法求解偏微分方程的主要思路，然后将应用分离变量法在求解薛定方程、氢原子体系、自由粒子狄拉克方程等方面的情况进行分析和说明，旨在帮助初学者总结学习规律，培养学习兴趣分离变量法的解题思路一方面将试探解代入偏微分方程，从而把一个偏微分方程分解成几个常微分方程，自变量也就各自分离开了；另一方面定解条件通过分离变量成为解决常微分方程的附加条件，这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题，求解本征值问题得到本征值和本征函数，进而得到本征解，根据叠加原理，将本征
3、解叠加得到傅里叶级数，并求出系数，则原偏微分方程得解可以看出，分离变量法的核心思想就是将一个涉及多个变量的偏微分方程化成几个偏微分方程或者常微分方程分别求解，使问题得到简化，最终才能得以解决薛定谔方程的分离变量解法 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它是从描写自由粒子的平面波的复数形式出发，建立的描述微观粒子运动的二阶偏微分方程，反映了微观粒子的运动规律 通过求解薛定谔方程，可以了解微观系统的性质，得到波函数的具体形式以及对应的能量首先考虑力场中势能（）为空间坐标的函数与时间无关，薛定谔方程为 （，）（）（，）（）为了使用分离变量法求解，设（，）具有以下解的形式（，）（）（）（）
4、将试探解（）式代入方程（）中，并且让方程两边同时除以（）（），得到（）收稿日期：作者简介：李燕（），女，河北沧州人，沧州师范学院物理与信息工程系讲师，研究方向：理论物理.DOI:10.13834/ki.czsfxyxb.2023.01.025上式左边只是的函数，右边只是的函数，而与是相互独立的变量.所以要使等式成立，两边必然等于同一常量，有（）（）（）（）（）就是体系处于这个波函数描写的状态时的能量.（）式中函数只随空间坐标发生变化，与时间无关，因此称为定态薛定谔方程.（）式中函数（）仅为时间的函数，解为（）为任意常数.将这一结果代入（）式，得到薛定谔方程的解（，）（）上式可以看出，只要根据具
5、体条件求得了函数（），便可得到波函数（，），即含时薛定谔方程通过分离变量，可以通过解定态薛定谔方程而得到波函数（，）.电子在库仑场中的运动考虑一电子在一带正电的原子核所产生的电场中运动，取核为坐标原点，则电子受核吸引的势能表示为，（），是电子到核的距离.体系的哈密顿算符为?定态薛定谔方程为 化为球极坐标中的形式是 （）（）（）用分离变量法解这个方程，设（，）（）（，）（）其中（）仅是的函数，（，）仅是和的函数.将（）式代入（）式，并以（）（，）除方程两边，移项后得（）（）（）（）方程（）左边仅与有关，右边仅与和有关，而，和都是独立变量，所以两边都等于同一个常数，等式才能成立.以表示这个常数，方
6、程（）分离为两个方程（）（）（）和 （）（）这样问题得到简化，（）式为径向方程，（）式为电子角动量平方的本征值方程，同时也是球函数方程，同样也利用分离变量法得到解为球函数.氢原子体系由电子和原子核组成的氢原子体系，应当考虑两个粒子在库仑相互作用下的运动，这是一个两体问题，用和分别表示两个粒子的质量，和分别表示两个粒子的位置矢量，相对位置矢量，质心坐标?（）（），体系的约化质量（）.体系的薛定谔方程为 （）（）首先利用分离变量法，把空间变量和时间变量分离，设（，）（，）（）（）将（）式代入（）式，并把方程两边用（，）（）去除，得到（）从这个等式可以看出，时间变量和空间变量分离成功.若使等式成立，
7、则等式两边都等于同一常量，有（）（）（）（）（）（）式的解为（），为任意常数.（）式即为体系的定态薛定谔方程，为了进一步分离变量求解，将对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商，即将和代换为和?，相应的和也代换为和?（）?（）将（）式和（）式代入（）式，所以，薛定谔方程写为（）?（）（）此时应用分离变量法，设（?，）?（?）（）代入（）式，方程两边同除?（?）（）并移项，得（）?（）令方程两边同时等于常数，则有（）?和（），?满足总质量为（），势能为零，能量为的单粒子薛定谔方程，满足总质量为约化质量，势能为（），能量为的单粒子薛定谔方程，体系总能量.质心的运动像一个自由粒子的运动，
8、相对运动可看作以质量为约化质量，处于势场（）的单电子运动，分离变量法使两体问题转化为单体问题.狄拉克方程.狄拉克方程的建立薛定谔方程是非相对论化的，即适用于速度不太快的粒子，对于高速运动的高能粒子，必须考虑狭义相对论、洛伦兹不变性.洛伦兹变换是对时间和空间的线性变换，而薛定谔方程对时间的微商是一阶的，对空间的微商是二阶的，因而薛定谔方程必然不是洛伦兹不变的.基于以上原因，狄拉克选择用波函数对四维时空坐标（，）统一做一阶偏导.首先从狭义相对论出发给出相对论能量的精确表达.，（）（）（）（）在此将能量算符和动量算符引入上式，两边同乘以波函数，得到 （）为了处理这一复杂的带根号的二阶偏导方程，设能量
9、动量之间满足线性关系，这样能使波函数对时空坐标的偏导数统一为一阶，具体步骤如下.首先将能量利用动量的分量形式去表达（）（）（）并且假定能量与四个分量之间的线性关系为（）前后式对比得到（）（）上式的右边展开以后，再和左边比较，可得求解上述方程组与求解泡利矩阵非常相似.泡利矩阵的具体内容为（），（），（）通过观察和分析，得到狄拉克矩阵应该为矩阵，即 这里需要说明的是，这不是狄拉克矩阵的唯一解，因此上述解被称为泡利狄拉克表象.将这四个矩阵代入能量动量线性关系式，等式两边同乘以波函数，再根据能量算符和动量算符，就可以得到自由粒子的狄拉克方程 （）设定（，）?（）则自由粒子的狄拉克方程简化为?（）假若粒
10、子还处于一个势场之中，则此时的狄拉克方程为?（）由于狄拉克方程中的系数是矩阵，所以方程得解，波函数就是一个矩阵，即狄拉克方程的解是波函数的四个分量.从狄拉克方程的建立过程来看，引入泡利矩阵解得狄拉克矩阵这一步最为关键，它使能量和动量呈一次线性关系，下一步才能利用分离变量法对狄拉克方程求解.自由粒子狄拉克方程的分离变量解法对于自由粒子的狄拉克方程?（）将能量算符和动量算符代入，得到 （）（）利用分离变量法，设试探解（，）（）（）（）将（）式代入方程（）中，方程两边同时除以（）（），得到 上式左边是时间的函数，右边是空间坐标的函数，而与是相互独立的变量.两边都等于常量，有（）（）（）（）为自由粒子
11、的能量.（）式是定态狄拉克方程，（）式是波函数时间部分所满足的常微分方程，解为（）为任意常数.将这一结果代入（）式，得到狄拉克方程的解为（，）（）其中（）根据定态狄拉克方程求得.由于狄拉克矩阵可以写成以泡利矩阵和单位矩阵为元素的矩阵，所以，可以将四分量旋量波函数分解为两个双旋量波函数和.即（，）（）（）（）于是，定态狄拉克方程可以写为矩阵表达式（）（）（）（）求解上式，并根据自由狄拉克粒子动量守恒，得到狄拉克方程的正能解和负能解 并且，由泡利矩阵构造矩阵?或（，）求得狄拉克粒子的自旋角动量，轨道角动量和自旋角动量合成总角动量，总角动量守恒，再根据自旋角动量求得正负涡度.因此，自由狄拉克粒子的波函数可按照正负能量、正负涡度进行划分，共四个解，也就是矩阵波函数的四个分量结语综上所述，在量子力学方程的求解过程中，分离变量法起到了化整为零、化难为易的作用 然而，对于复杂困难的问题，需要综合运用多种方法，因此，分离变量法与其它方法的结合，需要进一步深入地研究参考文献：梁昆淼数学物理方法（第版）北京：高等教育出版社，周世勋量子力学教程（第版）北京：高等教育出版社，曾谨言量子力学导论北京：北京大学出版社，（，）：，：；责任编辑：武玉琳
