1、第 32 卷第 1 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.12023 年 3 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Mar.2023收稿日期:2022-01-24基金项目:2019 年 教 育 部“双 万 计 划”省 级 一 流 本 科 专 业“数 学 与 应 用 数 学”专 业 建 设 项 目;凯 里 学 院 教 授 专 项 基 金(JS201602)作者简介:张洪(1966),男,贵州凯里人,凯里学院理学院教授,主要研究方向为代数与数论教学。doi:10.3969/j.issn.1007
2、-0834.2023.01.002Euler 函数方程(xy)=28(x)+(y)的正整数解张洪(凯里学院 理学院,贵州 凯里 556011)摘要:利用初等方法研究了不定方程(xy)=28(x)+(y)的可解性问题,并给出了该方程的全部正整数解,其中(n)是 Euler 函数。关键词:Euler 函数方程;初等方法;可解性;正整数解中图分类号:O156文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)01-0007-050引言不定方程整数解的研究是数论研究的重要课题之一。对任意的正整数 n,Euler 函数(n)定义为序列1,2,n 中与 n 互素的整数个数。它是数论研究中的一个重要函数,
3、有着广泛的应用。关于包含 Euler 函数(n)的方程整数解的研究,已经有丰富的成果。在文献1-12中研究了不定方程(xy)=m(x)+(y),当 m=1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,15,20 以及 2k和 3k等的正整数解。本文在此基础上,利用初等方法给出不定方程(xy)=28(x)+(y)的所有正整数解。1引理引理 19对任意的正整数 m 与 n,若 m n,则(m)(n)。引理 29设 n=p11p22prrZ+,其中 pi为互不相同的素数,则(n)=p11-1p22-1prr-1(p1-1)(p2-1)(pr-1)。引理 39对任意的正整数 m 与 n,有(mn)=
4、(m,n)(m)(n)(m,n),其中(m,n)是 m 与 n 的最大公因数。引理 49当 n3 为整数时,(n)为偶数。引理 510方程(x)=2p(p 为素数)的解 x 为1)当 p=2 时,解为 x=5,8,10,12。2)当 p=3 时,解为 x=7,9,14,18。3)当 p5 时,若 g=2p+1 为素数,则方程(x)=2p 有两个解:x=g,2g;若 g=2p+1 不是素数,则方程(x)=2p 无解。4)方程(x)=2 的解为 x=3,4,6;方程(x)=8 的解为 x=15,16,20,24,30;方程(x)=16 的解为x=17,32,34,40,48,60;方程(x)=32
5、 的解为 x=51,64,68,80,96,102,120。引理 6 1)方程(x)=14 无解;2)方程(x)=10 的解为 x=11,22;3)方程(x)=12 的解为 x=13,21,26,28,36,42;4)方程(x)=18 的解为 x=19,27,38,54;5)方程(x)=20 的解为 x=25,33,44,50,66;6)方程(x)=24 的解为 x=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90;8 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年7)方程(x)=28 的解为 x=29,58;8)方程(x)=30 的解为 x=31,62;9)方程(x)=36 的解为 x
6、=37,57,63,74,76,108,114,126;10)方程(x)=40 的解为 x=41,55,75,82,88,100,110,132,150;11)方程(x)=42 的解为 x=43,86;12)方程(x)=48 的解为 x=65,104,105,112,130,140,144,156,168,180,210;13)方程(x)=56 的解为 x=87,116,174;14)方程(x)=70 的解为 x=71,142;15)方程(x)=84 的解为 x=129,172,196,258,294;16)方程(x)=96 的解为 x=97,119,153,175,194,195,208,2
7、24,238,260,280,288,306,312,336,360,390,420;17)方程(x)=112 的解为 x=113,145,226,290,232,348;18)方程(x)=126 的解为 x=127,254;19)方程(x)=140 的解为 x=213,284,426;20)方程(x)=224 的解为 x=339,435,452,464,580,678,696,870;21)方程(x)=420 的解为 x=421,473,497,633,639,842,844,946,994,1 266,1 278;22)方程(x)=784 的解为 x=985,1 576,1 970,2 3
8、64。2主要定理及证明定理 1不定方程(xy)=28(x)+(y)有 51 组正整数解及对称形式:(x,y)=(31,421),(31,473),(31,497),(31,633),(31,639),(31,842),(31,844),(31,946),(31,994),(31,1 266),(31,1 278),(62,421),(62,473),(62,497),(62,633),(62,639),(51,452),(51,464),(51,580),(64,339),(64,435),(68,339),(68,435),(80,339),(37,127),(37,254),(57,127
9、),(57,254),(63,127),(63,254),(74,127),(108,127),(114,127),(126,127),(43,196),(43,294),(32,348),(40,348),(32,232),(40,232),(48,232),(56,70),(70,84),(60,435),(56,84),(35,175),(35,280),(35,420),(70,175),(42,84),(56,56)。证明令(x,y)=d,则有 d x,d y,由引理 1 有(d)(x),(d)(y),存在 a,bZ+,使得(x)=a(d),(y)=b(d),由引理 3 得(xy)=
10、d(x)(y)(d)=dab(d)(d)(d)=dab(d)。方程(xy)=28(x)+(y),即有 28(a(d)+b(d)=dab(d),从而,得28a+28b=d,又 a,bZ+,所以 1d56。由于对称性,故只考虑 ab。1)当 d=1,即(x,y)=1 时,有28a+28b=1,从而有 b=28+784a-28,由于 a,bZ+,因而 a=29,30,32,35,36,42,44,56,77,84,126,140,224,420,812,b=812,420,224,140,126,84,77,56,44,42,36,35,32,30,29。由 ab,(d)=1 及引理 4 有,(a,
11、b)=(30,420),(32,224),(36,126),(42,84),(56,56),所以(x),(y)=(30,420),(32,224),(36,126),(42,84),(56,56)。若(x)=30,(y)=420,则原方程的正整数解为(x,y)=(31,421),(31,473),(31,497),(31,633),(31,639),(31,842),(31,844),(31,946),(31,994),(31,1 266),(31,1 278),(62,421),(62,473),(62,497),(62,633),(62,639)。若(x)=32,(y)=224,则原方程的
12、正整数解为(x,y)=(51,452),(51,464),(51,580),(64,339),(64,435),(68,339),(68,435),(80,339)。若(x)=36,(y)=126,则原方程的正整数解为(x,y)=(37,127),(37,254),(57,127),(57,254),(63,127),(63,254),(74,127),(108,127),(114,127),(126,127)。若(x)=42,(y)=84,则原方程的正整数解为(x,y)=(43,196),(43,294)。若(x)=56,(y)=56,则原方程无正整数解。第 1 期张洪:Euler 函数方程
13、(xy)=28(x)+(y)的正整数解9 2)当 d=2,即(x,y)=2 时,有28a+28b=2,从而有 b=28a2a-28,由于 a,bZ+,ab,此时 a=15,16,18,21,28,b=210,112,63,42,28,由引理 4,此时有(a,b)=(16,112),(28,28),又(d)=1,所以(x),(y)=(16,112),(28,28)。若(x)=16,(y)=112,由引理 4,则原方程无正整数解;若(x)=28,(y)=28,由引理 5,x=29,58,y=29,58,此时原方程无正整数解。3)当 d=3,即(x,y)=3 时,有28a+28b=3,从而有 b=2
14、8a3a-28=9+b+2523b-28,由于 a,bZ+,(a,b)=(10,140),(14,28),此时原方程无正整数解。4)当 d=4,即(x,y)=4 时,有28a+28b=4,从而有 b=28a4a-28,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(8,56),(14,14)。又(4)=2,所以(x),(y)=(16,112),(28,28),原方程有正整数解(x,y)=(32,348),(40,348)。5)当 d=5,即(x,y)=5 时,有28a+28b=5,从而有 b=28a5a-28,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(7,28)。又(5)=4,所以(x),(y)=(28,112
15、),此时原方程无正整数解。6)当 d=6,即(x,y)=6 时,有28a+28b=6,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(7,14)。又(6)=2,所以(x),(y)=(14,28),此时原方程无正整数解。7)当 d=7,即(x,y)=7 时,方程28a+28b=7 无正整数解,此时原方程无正整数解。8)当 d=8,即(x,y)=8 时,有28a+28b=8,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(4,28),(7,7)。又(8)=4,所以(x),(y)=(16,112),(28,28),原方程有正整数解(x,y)=(32,232),(40,232),(48,232)。9)当 d=9,即(x,y)
16、=9 时,有28a+28b=9,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(4,14)。又(9)=6,所以(x),(y)=(24,84),此时原方程无正整数解。10)当 d=10,即(x,y)=10 时,方程28a+28b=10 无正整数解,此时原方程无正整数解。11)当 d=11,即(x,y)=11 时,有28a+28b=11 由于 a,bZ+,此时(a,b)=(4,7)。又(11)=10,所以(x),(y)=(40,70),此时原方程无正整数解。12)当 d=12,即(x,y)=12 时,方程28a+28b=12 无正整数解,此时原方程无正整数解。13)当 d=13,即(x,y)=13 时,方程28a+28b=13 无正整数解,此时原方程无正整数解。14)当 d=14,即(x,y)=14 时,方程28a+28b=14,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(4,4)。又(14)=6,所以(x),(y)=(24,24),此时原方程有正整数解(x,y)=(56,70),(70,84)。15)当 d=15,即(x,y)=15 时,方程28a+28b=15,由于 a,bZ+,此时(a,b)=(2,28
