1、第 卷第 期 年 月电气电子教学学报 收稿日期：；修回日期：基金项目：湖南省教育厅教改项目（）第一作者：曾金芳（），女，博士，讲师，主要从事信号处理方面的教学和科研工作，：“信号与系统”中卷积运算的案例教学法曾金芳 曾以成（湘潭大学 物理与光电工程学院，湘潭）摘要：针对“信号与系统”中卷积运算教学面临的问题，提出了卷积运算案例教学法。该教学法先介绍卷积运算理论知识，再介绍卷积运算的应用案例。通过自主设计的室内混响声学应用案例来学习卷积运算的典型应用，并且在 和 软件中演示。实际教学表明，该教学法能取得很好的教学效果，既能使学生更好地理解和掌握卷积运算，又能提高学生的学习兴趣。关键词：信号与系统
2、；卷积运算；案例教学中图分类号：文献标识码：文章编号：（）（，）：，：；在“信号与系统”课程中，信号和系统可以从三个域来进行分析：时域、频域和复频域，而时域分析是频域分析和复频域分析的基础。在时域分析中，卷积运算是一种非常重要的运算，它揭示了信号通过一个线性时不变系统的作用机理，如果已知输入信号和系统，则可以用卷积运算求解系统的响应；如果已知系统和输出信号，则可以估算输入信号。因此，卷积运算是“信号与系统”课程中一个非常重要的知识点，也是信号处理领域非常重要的技术，具有广泛的应用。然而，卷积运算对于学生来说是陌生的，其物理意义不明确，难以理解，学生也不了解具体的应用；而且，卷积运算涉及信号的自
3、变量变换、移位乘法和积分或求和运算，计算过程比较复杂，因此，卷积运算是“信号与系统”课程中的教学难点。为了更好地开展卷积运算的教学，探讨卷积运算的案例教学法，自主设计一个室内混响声学的教 学 案 例，按 照 理 论 知 识 的 学 习（卷 积 运算）理论知识的应用（应用案例）的方法进行教学，使学生更好地理解和掌握卷积运算，同时也能使学生增强理论联系实际的能力，锻炼编程能力，培养科研创新能力等。卷积运算包括卷积和运算和卷积积分运算，以离散时间线性时不变系统的分析为例，讨论卷积和运算的教学。理论知识教学 系统分析的思想系统分析的基本思想是：如果要求一般信号的系统响应，可以先选取特殊的信号作为基本信
4、号对输入信号进行分解，再应用线性性质，则一般信号的响应是基本信号响应的线性组合。对基本信号的要求是：简单、有代表性、系统响应容易求。对于离散时间线性时不变系统的分析，首先需要解决的问题是离散时间信号的分解。因为单位脉冲信号 简单，具有抽样特性，而且离散时间线性时不变系统对 的响应也容易求，因此，一个离散时间信号在时域的分解可以选择 作为基本信号，则任意的离散时间信号就可以分解成移位的 的线性组合，即 （）卷积和运算离散时间信号分解成移位的 的线性组合后，现在需要解决在一个离散时间线性时不变系统中对应的输出响应如何求解。如果用 符号表示系统算符，离散时间线性时不变系统对 的响应，即单位脉冲响应信
5、号用 表示，则输入信号对应的输出信号 为 （）利用系统的线性和时不变性质，可得 （）式（）即卷积和运算，即一个离散时间线性时不变系统的响应是输入信号 卷积系统的单位脉冲响应信号。从式（）可以看出，卷积和运算是一种加权求和运算，任何时刻的输入都会影响当前时刻的输出。通过卷积和运算的学习，能让学生明白，任何事情的成功都需要有积累的作用才能达到最终的效果，让学生明白持之以恒的重要性，培养工程人员需要的韧劲和毅力。从卷积和的运算可以看出，一个离散时间线性时不变系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲序列的响应来表示，那么离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特征，一个离散时间线性时不变
6、系统在时域可以由单位脉冲响应信号来表示。卷积和的计算学生学习了卷积和运算的推导，现在进入到卷积和的计算。卷积和的计算方法主要有解析法、图解法和数值计算法。其中，解析法是直接利用卷积和的公式来计算，适用于 与 用解析式表示的情况；图解法是用图形的方法来计算，对于与 用解析式表示或波形表示都适用，计算过程可以用八个字概括：反转、平移、相乘、求和（用微视频展示）；数值计算法就是用计算机编程计算，如。对于三种方法都讲解一个例题并进行课堂练习。详细过程略。应用案例为了使学生加深对理论知识的理解和掌握，也为了让学生了解理论知识的应用，提高学生理论联系实际的能力，理论知识的教学都需要同实际应用案例结合起来。
7、卷积的应用很广泛，主要有以下几个方面：（）在电子工程与信号处理中，可以使用卷积计算一个线性时不变系统对输入信号的响应；（）在声学中，接收到的声音信号可以用源声与声场单位冲激响应信号的卷积表示；（）在图像处理领域，如平滑滤波、图像去噪、边界检测等；（）其它：信号检测、人工智能领域。针对第 点设计了一个室内混响声学应用案例来辅助卷积运算的教学。案例设计以常见的室内声学应用场景，如教室、会议室、音乐厅等，引出室内混响声学，即声音在室内传播时，从声源到信号接收者（如人耳或麦克风）会经过不同的途径，包括直达声、反射声、折射声等（如图 所示），麦克风接收到声音信号后用于后续的声音信号处理，如声音识别、声音
8、分离等。那么，如何计算麦克风接收到的信号呢？图 室内混响声学示意图解决问题的思路：对于室内声音的传播可以建立一个室内声场模型，从声源到麦克风的路径是室内声道，把室内声道当作一个系统，简单的情况为一个线性时不变系统，声源当作输入信号，麦克风接收到的信号则是输出信号，如图 所示。图 室内声场系统模型问题转化为：在一个线性时不变系统中，已知输入信号，如何求输出信号。所以案例中给出的问题其理论基础就是线性时不变系统的卷积运算，即已知室内声场的单位脉冲响应信号，则接收到的声音信号是原声源信号与单位脉冲响应信号的卷积。这种系统分析方法可以扩展到很多应用中，比如信号在不同介质中的传播、通信等。由上述可知，如
9、果要计算室内声场接收器的声音，则室内声道脉冲响应信号必须是先验知识。在工程应用中，声道脉冲响应信号的估计是一个重要第 期曾金芳，等：“信号与系统”中卷积运算的案例教学法的问题。案例实现下面将以具体的信号为例，从 编程、软件两个方面演示案例的实现，使案例中提出的问题得到解决。）编程演示在 中演示一个室内声音传播实例，如图 所示。一个大小为 的房间内有一个声源和两个麦克风，声源、麦克风和房间参数如图 所示，声源到麦克风 和麦克风 的声道脉冲响应信号分别用 和 表示，其波形如图 所示。图 室内房间模型（）波形（）波形图 两个脉冲响应信号波形选取一个语音信号从声源发出，根据卷积运算分别计算麦克风 和麦
10、克风 接收的信号。在实验中，为了演示不同的信号长度对卷积运算的影响，选取同一个语音两个不同长度的信号。两个不同长度的声源语音信号以及对应的两麦克风接收到的信号波形分别如图、图 所示，其中，图 的源信号点数为，图 的源信号长度为，可以通过声音播放来对比原始语音信号和通过室内传播之后的语音信号。（）声源语音信号（）麦克风 接收信号（）麦克风 接收信号 图 声源语音信号 和麦克风接收信号（）声源语音信号 电气电子教学学报 第 卷（）麦克风 接收信号（）麦克风 接收信号 图 声源语音信号 和麦克风接收信号从图（）、（），图（）、（）可看出，同一个信号和两个不同的单位脉冲响应信号卷积的效果是不一样的；分
11、别对比图（）和图（）、图（）和图（）也可以看出，不同长度的两个信号和同一个单位脉冲响应信号卷积的效果也是不一样的。）软件演示 软件是一个专业的音频处理软件，可以对声音信号进行各种处理。比如，可以根据原始的声音信号，生成不同混响环境下的声音，这是因为软件能自动生成不同环境下的声道单位脉冲响应信号。图 给出了一首英文歌曲在小房间、主教堂、大型音乐厅三个场景中的效果，还可以通过声音回放来体会不同的效果。图 原信号与三个场景信号 结语“信号与系统”课程中卷积运算知识点是教学的重点和难点，以离散时间线性时不变系统的分析，即卷积和运算为例，提出了一个室内混响声学的教学案例，先学习理论知识，再学习应用案例，
12、并在 和 软件中实现。实践表明，该案例教学方法能取得很好的教学效果，对于连续时间线性时不变系统的分析 卷积积分运算也是适用的，对于“信号与系统”课程中卷积运算的教学有一定的参考价值。参考文献奥本海姆 信号与系统 版 刘树棠，译 北京：电子工业出版社，文静 信号与系统课程中卷积运算的教学方法探讨 大学教育，（）：王中鹏 基于案例的信号与系统基础课程教学探讨 以卷积积分为例 浙江科技学院学报，（）：陶丹，胡健，陈后金“信号与系统”课程案例教学探讨 电气电子教学学报，（）：吴宪祥，郭宝龙，朱娟娟，等“信号与系统”教学引入图像处理案例探析 电气电子教学学报，（）：罗向龙，明洋，李晗“信号与系统”课程思政教学改革与探索 教育教学论坛，：第 期曾金芳，等：“信号与系统”中卷积运算的案例教学法
