1、第 卷第 期 年 月电气电子教学学报 收稿日期：；修回日期：基金项目：华中科技大学校级教学研究专项项目（）；华中科技大学校级研究生教育面上项目（）第一作者：宋琪（），女，博士，副教授，主要从事信号处理方面的教学与研究工作，：关于信号（）的傅里叶变换的探讨宋 琪 陆三兰（华中科技大学 电子信息与通信学院，武汉）摘要：傅里叶变换是“信号与线性系统”课程中一个非常重要的教学内容，是理解信号频域特性和进行线性系统频域分析的基础。课程中对于一些不满足绝对可积条件的信号，通过引入广义函数获得了它们的傅里叶变换。斜坡信号（）不是绝对可积的信号，虽然一些文献中给出了它的傅里叶变换表达式，但对于该信号的傅里叶变
2、换是否存在的问题却存在不同观点。论文对斜坡信号傅里叶变换的求解方法进行了研究，指出了常见的错误方法，并对斜坡信号的频率特性给出了一种观点。关键词：傅里叶变换；广义函数；拉普拉斯变换中图分类号：文献标识码：文章编号：（）（）（，）：，（），：；在“信号与线性系统”经典教材和中，单位冲激函数 函数及其 次导数和积分是一类被称为“奇异函数”的信号，这类信号的特点是函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点。在数学上这类函数被称为“广义函数”。广义函数的傅里叶变换问题用经典傅里叶变换解决不了，只能在广义傅里叶变换意义下解决。许多学者都对广义函数的傅里叶变换做了研究。郑神州等对经典的广义函数
3、函数从定义、性质、傅里叶变换和其应用几个方面进行了全方位的分析阐述。姜小磊推导了符号函数（）的傅里叶变换并给出了在广义函数意义下的理解。谭天荣研究了阶跃函数（）的谱函数问题。王益艳等用不同方法推导了斜坡函数（）的傅里叶变换并澄清了一个错误，同时分析了产生错误的根源。斜坡信号（）不满足绝对可积条件，其傅里叶变换无法由傅里叶变换定义而计算获得，只能利用性质去求。一些“信号与线性系统”教材给出其傅里叶变换式，但笔者对此有不同看法。后文的安排如下：第 节和第 节分别研究了计算（）的傅里叶变换可用和不可用的性质，第 节从物理意义的角度分析（）的傅里叶变换存在性，最后在第 节结合“信号与线性系统”课程的主
4、要任务阐明了作者的观点。求（）的傅里叶变换的正确方法 利用傅里叶变换的频域微分性质由傅里叶变换对（）（），再利用频域微分性质可得（）（）即 （）（）（）文献的 小节采用的就是这个方法。利用傅里叶变换的时域微分性质令（）（），则有（）（）（）（）（）上式两边求傅里叶变换，利用时域微分性质有（）（）即（）（）（）（）考虑式（）中（）一项，有，且当 从负值趋于 时，（），当 从正值趋于 时，（），即（）是反向的冲激偶。用另一种方法也可以证明：（）（）（）故而 （）（）（）将式（）代入式（）可得 （）（）（）式（）与式（）相同。文献 提供了这个方法。利用拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系文献在 小节给出了
5、能否以及如何在已知信号的拉普拉斯变换式的条件下求得其傅里叶变换式的方法，其中有个结论是：当信号（）的拉普拉斯变换（）具有 轴上的多重极点，对应的傅里叶变换式可能出现冲激函数的各阶导数项，即若 （）（）（）（）则（）的傅里叶变换为（）（）（）！（）（）（）以上式（）中（）的全部极点位于 平面的左半边，为虚轴上的 重极点。文献没有给出公式（）的推导过程，下面先来推导以上结论，再利用其求（）的傅里叶变换。对式（）两边求拉普拉斯逆变换可得（）（）（）！（）（）对式（）两边再求傅里叶变换有（）（）（）！（）其中，由于（）的全部极点位于 平面的左半边，所以（）（）。关键是求式（）等号右边第二项的傅里叶变换
6、，实际上第二项虽然形式复杂，但求其傅里叶变换并不困难，考虑到（）（）（）（）（）在式（）基础上重复使用 次傅里叶变换的频域微分性质便可得到式（）等号右边第二项的傅里叶变换。下面举例说明。设式（）中，令 ，则对式（）使用一次频域微分性质有（）（）（）即（）（）（）（）对比式（）与式（）可见，若式（）中的（）取为（）（），将 换成 后便得到式（）等号右边第一项。另一方面，式（）等号右边第二项当 时与式（）等号右边第二项一致。证明了公式（）之后，就可以直接利用其得到（）的傅里叶变换。由（），利用式（）可得 （）（）（）式（）与式（）、式（）都相同，说明它就是广义函数意义下斜坡信号的傅里叶变换表达式。
7、利用拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系获得斜坡信号的傅里叶变换是文献采用的方法。实际上从公式（）的推导过程可见，这种方法本质上也是利用傅里叶变换的频域微分性质。求（）的傅里叶变换的错误方法前面分别用频域微分和时域微分性质计算求第 期宋琪，等：关于信号（）的傅里叶变换的探讨得（）的傅里叶变换，在文献中指出如果利用时域卷积性质那就是错误的。不过该文是用广义函数理论分析了错误根源，下面从该性质的成立条件，亦即该性质的推导过程来说明错误原因。设（）（），（）（），则当两个积分满足一致收敛条件时可交换积分次序，从而有可见，函数卷积的傅里叶变换等于函数傅里叶变换的乘积的结论是基于两个积分可以交换次序这个基
8、础，如果不能满足积分交换条件，那么结论就不成立。对于（）（）（），如果使用时域卷积性质，会有（）（）（）（）（）（）（）将式（）代入上式可得（）（）（）（）而如果不交换积分次序，则有用分部积分法得显然以上积分不收敛，从而无法得到与式（）一致的结果。这一方面说明运用时域卷积性质是错误的，另一方面也说明式（）是错误的。另外，如果由于（）（）而试图用时域积分性质求（）的傅里叶变换，那也是错误的。因为这个性质本身就是用时域卷积性质证明的，也就是说用时域积分性质本质上与用时域卷积性质一样。（）的傅里叶变换存在吗？第 节虽然在广义函数的意义下用不同的方法得到了（）的傅里叶变换表达式，但是这个谱函数有物理意
9、义吗？作为一门以信号分析为主要任务之一的课程，“信号与线性系统”分析正弦信号、阶跃信号乃至能用傅里叶级数表示的周期信号的谱特性，是因为它们常见于理论模型分析中，且有很明确的物理意义。虽然它们不满足绝对可积条件，但它们的功率有限，具有工程意义，用 函数表达其谱函数，通过傅里叶变换了解它们的频率特性是有意义的。例如正弦函数（）的傅里叶变换是两个分别位于 处的冲激，说明该信号只包含一个频率，而且它是周期信号，故其频谱具有离散特性。又如单位阶跃信号（），其傅里叶变换式是（），其中（）这一项表明（）包含振幅为 的直流成分，第二项则表示它还包含其他频率，且频率越高振幅越小。（当然从这些例子我们也可以体会为
10、何要引入广义函数来表达傅里叶变换了！）反观斜坡信号（），其傅里叶变换表达式为（），其中的（）怎么理解？物理意义又是什么？我们都解释不了。从另外一个角度考虑这个信号，其能量为功率为直流成分等于电气电子教学学报 第 卷可见（）既非能量信号，亦非功率信号，包含的直流成分还是无穷大，很显然这个信号不具有实际工程意义。对于这样一个信号，理解其频谱的物理特性没有必要。综上，对于此节标题中的问题，虽然从数学上能够得到（）的傅里叶变换表达式，但从工程技术的角度来讲，它的傅里叶变换不存在。结语“信号与线性系统”课程的内容虽然包括众多数学知识，但它并不是数学课，教师在授课时应该注意结合物理意义讲解各知识点。就傅里
11、叶变换这部分而言，重点应该放在信号分析上，而非如何使用各种技巧求函数的傅里叶变换，这就意味着教师在选择例子时应兼顾数学性和工程性。可能也正是由于这个缘故，文献和另一本广泛使用的经典教材都没有提及（）以及形如（）的函数的傅里叶变换。故认为在讲解信号分析时，一般的常见信号已足矣，不必以（）为例。参考文献 ，信号与系统 第二版 刘树棠译 北京：电子工业出版社，：郑君里，应启珩，杨为理 信号与系统 第三版北京：高等教育出版社，：，郑神州，康秀英 狄拉克 函数及有关应用 大学物理，（）：姜小磊 正确理解符号函数的傅里叶变换 电气电子教学学报，（）：谭天荣 单位阶跃函数的谱函数问题 湘潭师范学院学报（自然科学版），：王益艳，伍世云 关于斜坡信号的傅里叶变换探讨从一则悖论谈起 四川文理学院学报，（）：杨晓非，何丰编著 王继森主审 信号与系统 修订版 北京：科学出版社，：管致中，夏恭恪，孟桥原著 孟桥，夏恭恪修订 信号与线性系统 第 版 北京：高等教育出版社，：第 期宋琪，等：关于信号（）的傅里叶变换的探讨
