1、第 卷 第 期 年 月计 算 物 理 ，文章编号：（）收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）、年陇原青年创新创业人才（个人）项目、年甘肃省高等教育教学成果培育（）、甘肃省 年高校教师创新基金（）、甘肃省教育科学“十四五”规划 年度课题（）、甘肃民族师范学院校长科研项目（）、甘肃民族师范学院教学成果培育项目（）资助第一作者：席忠红（），男，硕士，副教授，研究方向为理论物理，：环形运动势搅拌下偶极 中的非线性动力学席忠红，赵永珍（甘肃民族师范学院物理与水电工程系，甘肃 合作）摘 要：数值研究谐振子势囚禁的偶极玻色爱因斯坦凝聚体（）在环形运动高斯势搅拌时的非线性动力学行为。随着高斯势运
2、动速度以及尺寸的变化，尾流中出现涡旋偶极子激发、涡团激发以及斜孤子激发三种激发模式。通过数值计算，得到不同偶极相互作用下各种激发模式对应的参数区间，分析偶极相互作用以及高斯势条件对激发模式的影响，并讨论不同激发的物理机制。关键词：偶极玻色爱因斯坦凝聚体；偶极子；涡团；斜孤子中图分类号：.文献标识码：.引言 拓扑激发比如涡旋、孤子的研究对于理解和认识玻色爱因斯坦凝聚体（）有着重要的意义。人们最早在超流 及 中发现了量子化涡旋及孤子并对其动力学进行了系统化的定量研究。与超流 相比，原子 在研究量子流体动力学方面表现出诸多优势，现代光学技术的发展使得对凝聚体的操控以及拓扑缺陷（比如涡旋和孤子）的可视
3、化更容易实现。目前，关于量子湍流（）的研究仍然建立在量子化涡旋动力学的基础之上。在原子 系统中产生涡旋的途径主要有旋转外势以及在 系统中引入运动的局域势等方法，。外势的旋转使凝聚体的表面产生涡旋并在非线性动力学作用下形成漂亮的涡旋晶格。等通过振荡外部囚禁势的方法研究了 中的量子湍流现象。当局域势在原子 中运动时，尾流中会产生大量涡旋对并表现出有趣的动力学行为。等分别从理论和实验上对高于临界速度的耗散进行研究。团队通过实验和数值计算观察到运动高斯势尾流中有涡旋产生并能在凝聚体中长时间移动。通过数值求解 （）方程，等分别研究了单分量、双组分 尾流中的 涡街。小组从实验上观察到了 尾流中的 涡街现象
4、。等理论研究了排斥高斯势在二维 系统中振荡时激发的量子涡旋、孤子以及二者的协同动力学。团队通过在原子气体 中引入圆周运动的高斯势，数值研究了二维量子湍流，系统探讨了三种不同激发模式并与经典弱波湍流的形成机理进行对比。理论和实验研究表明，偶极相互作用对原子气体 的性质有着重要的影响，也使原子气体 系统表现出新奇的物理现象。同时，偶极相互作用作为一种长程各向异性的相互作用，为原子气体 提供了一个可控参量，使得偶极 在量子模拟和量子计算等诸多领域有了更多应用的可能。因此，研究偶极 中的量子涡旋与孤子等量子湍流现象有重要的现实意义。理论模型 为了研究偶极原子 中的不同激发模式，本研究将 囚禁在谐振子势
5、 中，用一个随时间变化的排斥高斯势 来搅拌。此时，描述偶极 系统的 方程为第 期席忠红等：环形运动势搅拌下偶极 中的非线性动力学（，）（）|（，），（）其中波函数满足 （为总粒子数），为原子质量，表示原子间的接触相互作用强度，为 波散射长度。总外势（）中，谐振子势（），为 平面内谐振子频率、为 轴方向谐振子频率。偶极势满足（）（，），（）偶极相互作用为（），（）其中，为极化轴 （，）与两原子相对位置之间的夹角，。对于磁偶极子或电偶极子，分别为 或 ，、分别为真空磁导率、磁偶极矩、真空介电常数、电偶极矩。具体实验中，的正负可以通过 共振自由调节。在强囚禁 ，（为化学势，为玻尔兹曼常数，为系统温度
6、）条件下，偶极 原子将被束缚在 平面内呈饼状结构。对式（）进行准 维近似，并用 ，（）（），（），为 中心附近粒子数密度）无量纲化处理，然后略去各变量上的“”，可以得到描述偶极 系统的无量纲化准 维 方程，（）（）（，）（）（）|，（）其中 （）。波 函 数 满 足 归 一 化 条 件（，）。式 中（，）（，）（），（）（）（），（）（），（）（）为完全误差函数，。在数值计算时，引入随时间变化的排斥高斯势 （）（）|，表示沿 方向的蓝色失谐激光束搅拌，其中 为高斯势深度，为高斯势尺寸。本文只考虑高斯势相对于凝聚体中心作圆周运动的情况，即 （），（），其中 为高斯势的运动速率，为圆周半径。计算系
7、统基态时取初始波函数 ，高斯势的初始位置（），（），然后利用傅里叶谱方法对 方程进行动力学演化。作为求解 方程的一种高效近似方法，傅里叶谱方法保证了空间上的谱精度和时间上的二阶精度，是研究 量子化涡旋结构的高效精确的数值方法。数值结果 考虑将 （.）个磁偶极矩为 （为波尔磁子）的 原子囚禁在谐振子势中进行研究，选取频率（，）（.，.，），时，偶极 被囚禁在二维平面内。取.（为波尔半径），高斯势的深度 ，高斯势的初始位置为（），（）.，。数值计算范围为（，），。图 给出高斯势在偶极 中作圆周运动时，高斯势尾流中 的密度分布以及对应相图。图（）（）为偶极 中出现的三种典型激发模式即涡旋偶极子激发，
8、涡团激发以及斜孤子激发。对应高斯势的直径、高斯势的运动速率分别为（）.，.；（）.，.；（）.，.。图 计 算 物 理第 卷（）（）分别为与图（）（）取相同参数时的相图。图 高斯势在偶极 中圆周运动时尾流密度分布（）（）及相图（）（）（）（）（）（）图 展示了涡旋偶极子激发与涡团激发两种激发模式演化过程，斜孤子激发的情况在图 中进行详细地说明。如果高斯势在偶极 中的运动速度很小或者高斯势的尺寸很小，中不会产生涡旋，即为稳定层流。当高斯势的运动速度达到一定大小（临界速度）时，成对的幽灵涡旋在高斯势内部成核（如图（），并从高斯势表面脱落后在尾流中运动（如图（）。从图（）容易发现同时脱落的涡旋对具有
9、相反的旋量且形成涡旋偶极子，图（）及图 中符号“”表示逆时针旋转，“”表示顺指针旋转。偶极子脱落后高斯势周围的 将恢复初始状态并激发下一个偶极子，如此反复在尾流中形成图（）所示的密度分布。图（）（）展示了 .，.时涡旋偶极子的演化过程。图 涡旋偶极子激发演化过程（）（）与涡团激发演化过程（）（）（）（）（）（）第 期席忠红等：环形运动势搅拌下偶极 中的非线性动力学随着高斯势运动速度的增大，尾流中脱落的单偶极子数量明显增多。偶极子之间将会发生随机相互作用，组成偶极子的涡旋反涡旋将会发生重组现象，随着演化时间的延续，部分涡旋聚集在一起形成涡团结构，如图（）所示。进一步增大高斯势运动速度时，高斯势附
10、近尾流中大量偶极子之间的相互作用更加频繁，偶极子与运动势之间也同时发生复杂的相互作用，以致偶极子脱落的周期特征不复存在，涡团结构将变得更加复杂。图（）（）为 .，.时偶极 中涡团的形成过程。演化时间 时（图（），尾流中有两个涡旋偶极子先后脱落，前一时刻脱落的偶极子（图中黑色矩形框内偶极子）将向上运动并穿过后一时刻脱落的偶极子，当 时，图（）中黑色矩形框内偶极子在相互作用下分离并运动到图（）中黑色箭头所指位置，当演化时间 时与高斯势新激发的一个涡旋重新组成涡旋对，完成涡旋对的重组过程，如图（）中黑色椭圆区域所示。继续演化发现大量涡旋之间将发生复杂的动力学行为，并在凝聚体中产生涡团激发现象，图（）
11、中黑色虚线框区域为 时形成的涡团。有趣的是在这一过程中从单偶极子分离的点涡旋起着重要的作用，点涡旋以及涡旋对的团聚现象是区分涡旋偶极子激发与涡团激发的重要依据。斜孤子激发模式发生在高斯势运动速度更大的情况，图 详细展示了 .，.时斜孤子激发的演化过程。图中黑色线段表示运动势在偶极 中激发的压缩波。为了清晰观察斜孤子激发的动力学行为，将图 放大 倍后对应时刻尾流中的密度分布如图（）（）所示，图（）（）分别为对应时刻的相图结构。图（）中黑色矩形框标注了 时高斯势尾流中的一个斜孤子，该孤子容易从对应密度分布图矩形框中的低密度区和相图结构得到确认，图（）矩形区域中相位在孤子中心位置沿着矩形短边方向急剧
12、变化也是斜孤子激发的证据。数值模拟发现，时，斜孤子从高斯势脱落，并且不稳定，很快衰减成图（）中黑色矩形虚线框中的涡旋反涡旋对。随着模拟时间的增加，大量斜孤子的衰减将在尾流中形成偶极子链，如图（）所示。值得注意的是，由于斜孤子不稳定性而衰减得到的涡旋反涡旋对之间的距离很小，故在演化过程中存在大量涡旋反涡旋对湮灭的情况。例如 时图（）黑色正方形中的涡旋反涡旋对湮灭成 时图（）黑色正方形虚线框中的孤子。同时，在整个模拟过程中，几乎所有的涡旋（以上）都被束缚成涡旋反涡旋对形式，因此在这种情况下很少出现涡旋的团聚现象。图 斜孤子激发演化过程 计 算 物 理第 卷图 斜孤子激发演化过程（图 放大）高斯势周
13、围密度分布（）（）及相图（）（）（）（）（）（）（）通过对不同偶极相互作用条件下高斯势运动速度 和尺寸 的系统数值模拟，得到了偶极相互作用.，时 中不同激发模式对应的参数区间，如图 所示。图 中浅绿色区域为无涡旋激发的层流状态，浅红色、绿色、红色区域依次为涡旋偶极子激发、涡团激发以及斜孤子激发状态。值得注意的是，不同激发模式之间存在很窄的过渡区域，而不是直接从一种激发模式直接过渡到另一种激发模式。当.时（图（），在 .的条件下沿着图中虚箭头方向增大高斯势运动速度，尾流中依次出现无涡旋、涡旋偶极子、涡团、斜孤子等激发模式。.时，随着高斯势运动速度的增大直接从层流模式过渡到涡团激发模式，不会出现涡
14、旋偶极子激发的现象。在.的区间内涡旋偶极子激发区域较宽，大约为 .。当（图（）且 .时不再出现涡旋偶极子激发，在.的区间内涡旋偶极子激发区域较宽，大约为 .。当 时（图（）且 .时不再出现涡旋偶极子激发，在.的区间内涡旋偶极子激发区域较宽，大约为 .。同时，对比图（）（）容易发现，斜孤子激发的临界速度随着偶极相互作用的增大有减小的趋势，也就是说对于同一高斯势大小，当偶极相互作用增大时发生斜孤子激发的最小速度逐渐减小。可见，随着偶极相互作用的加强，涡旋偶极子以及涡团激发区域将变得更小，斜孤子激发区域变大，即对于同一高斯势尺寸，图 不同偶极相互作用下 各种激发模式的参数区间（），.；（），；（），
15、（），.；（），；（），第 期席忠红等：环形运动势搅拌下偶极 中的非线性动力学 在速度相对较小的情况下就会发生斜孤子激发。这一点在物理上也容易理解，一对涡旋偶极子或斜孤子脱落以后较强的偶极相互作用使得 更容易恢复到产生下一对涡旋偶极子或斜孤子的初始条件，从而缩短偶极子或斜孤子脱落的周期，导致在高斯势速度较小的情况下出现涡团激发以及斜孤子激发。另外，在涡旋偶极子激发区域是否存在 涡街现象也值得研究。结论 基于平均场理论，对谐振子势囚禁的偶极 在环形运动高斯势搅拌时的非线性动力学行为进行数值研究。讨论了不同高斯势条件对涡旋偶极子激发，涡团激发以及斜孤子激发三种激发模式的影响，并分析了不同激发模式的
16、物理学机制。通过系统的数值计算，得到了不同偶极相互作用下各种激发模式对应的参数区间，结果表明：随着偶极相互作用的逐渐加强，涡旋偶极子以及涡团激发区域将变得更小，斜孤子激发区域变大，斜孤子激发将成为 尾流中的主要激发模式。本研究对深入研究偶极 的动力学行为有重要意义，深入研究环形障碍物势尾流中的 涡街现象也是有趣的课题之一。参考文献 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：计 算 物 理第 卷 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（，）：（），：；：；：
